Use o Teste da Comparação no Limite para achar quais das séries convergem e quais divergem:

b)

∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n 2 converge ou diverge pelo Teste da Comparação no Limite.

Então... Para usar o Teste da Comparação no Limite, precisamos comparar a série dada com uma menor ou maior, dividindo a que temos por uma pela outra série já conhecida.

Dessa forma, se o resultado do limite for uma constante, então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem (com base na série que conhecemos).

Nesse caso, vamos comparar com a seguinte série convergente:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Não entendeu?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Assim, devemos fazer o seguinte limite (comparando com a série harmônica, que é divergente):

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n 2 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 ln ⁡ n 2

Vendo que trata-se de uma indeterminação, podemos aplicar L’Hospital.

Assim, derivando o numerador e o denominador, temos:

= lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 ln ⁡ n n ∴

= lim n → ∞ ⁡ n 2 ln ⁡ n

Aplicando L’Hospital novamente, temos:

= lim n → ∞ ⁡ 2 n 1 / n ∴

= ∞

Dessa forma, podemos ver que nossa série diverge!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série diverge

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