1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.

b) ∑ n 2 + n - 3 n 3 + n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema nosso objetivo é dizer se a série ∑ n 2 + n - 3 n 3 + n converge ou não.

Temos que escolher um teste para usarmos no problema e pra isso temos que analisar nossa série de modo a encontrar alguma coisa que nos indique qual teste seria conveniente de usarmos.

Tem algum em mente? 🤔🤔

Nossa série é composta por uma fração de polinômios, então um método muito poderoso para esses casos é o teste limite-comparação!

Esse teste consiste em usar uma outra série b n que sabemos a respeito da sua divergência, assim calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = p

Dado que a n é a nossa série.

Assim, se p for diferente de 0 e de , significa que a n e b n tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Sacou? Vamos ver para o nosso caso? 😎

Passo 2

Primeiro vamos ver se nossa série diverge. Pra isso vamos usar a série mais simples que sabemos, a série harmônica b n = 1 n .

A série harmônica sempre diverge, portanto é um uma ótima candidata.

Se a n = n 2 + n - 3 n 3 + n , então substituindo a n e b n no limite...

lim n → ∞ ⁡ a n b n = p

lim n → ∞ ⁡ n 2 + n - 3 n 3 + n 1 n = p

Simplificando a fração calculando o produto dos extremos sobre o produto dos meios, temos

lim n → ∞ ⁡ n 2 + n - 3 n n 3 + n = p

lim n → ∞ ⁡ n 3 + n 2 - 3 n n 3 + n = p

Se substituirmos n por , vamos chegar em uma indeterminação ∞ ∞ .

A regra de L’Hopital é válida para esses casos também, então vamos aplicá-la!

Caso não se lembre, relaxa, vou dar uma relembrada... essa regra consiste em calcular as derivadas do numerador e do denominador de uma fração dentro de um limite, ou seja

lim n → ∞ ⁡ d n 3 + n 2 - 3 n d n d n 3 + n d n = p

Derivando n 3 + n 2 - 3 n e n 3 + n pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do seu expoente, temos

d n 3 + n 2 - 3 n d n = 3 n 3 - 1 + 2 n 2 - 1 - 3 n 1 - 1 = 3 n 2 + 2 n - 3

d n 3 + n d n = 3 n 3 - 1 + n 1 - 1 = 3 n 2 + 1

Substituindo esses resultados no limite...

lim n → ∞ ⁡ 3 n 2 + 2 n - 3 3 n 2 + 1 = p

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Ainda não podemos substituir n por pois ainda chegaríamos em uma indeterminação

Então vamos aplicar a regra de L’Hopital novamente!

lim n → ∞ ⁡ d 3 n 2 + 2 n - 3 d n d 3 n 2 + 1 d n = p

Pelo método de derivação polinomial, temos

d 3 n 2 + 2 n - 3 d n = 2 · 3 n 2 - 1 + 2 n 1 - 1 - 0 = 6 n + 2

d 3 n 2 + 1 d n = 2 · 3 n 2 - 1 + 0 = 6 n

Substituindo no limite novamente.

lim n → ∞ ⁡ 6 n + 2 6 n = p

Podemos perceber que se substituirmos n agora, ainda estaríamos presos em uma indeterminação...

Então aplicando a regra de L’Hopital mais uma vez, temos

lim n → ∞ ⁡ d 6 n + 2 d n d 6 n d n = p

Pelo mesmo método de derivação...

d 6 n + 2 d n = 6 n 1 - 1 + 0 = 6

d 6 n d n = 6 n 1 - 1 = 6

Resultando em

lim n → ∞ ⁡ 6 6 = p

lim n → ∞ ⁡ 1 = p

Como o limite de uma constante resulta na própria constante, então

lim n → ∞ ⁡ 1 = 1 = p

Ou seja, p = 1 .

Como vimos no passo 1 , se p fosse diferente de 0 e de , as séries a n e b n teriam o mesmo comportamento.

Logo, se b n diverge, a n também diverge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Diverge pelo teste limite-comparação.

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1