Quais das sequências { a n } convergem e quais divergem? Ache o limite de cada sequência convergente :

g) a n = l n   n n 1 n

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se a sequência a n = l n   n n 1 n converge. Uma sequência é dita convergente se o limite abaixo existe:

l i m n → ∞ a n = L

então vamos calcular esse limite, para verificar se a sequência é convergente, e obter o seu valor caso ele exista. Então vamos lá!

Passo 2

Calculando o limite

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ l n   n n 1 n

lembrando que podemos aplicar o limite em cada termo:

l i m n → ∞ l n   n n 1 n = l i m n → ∞ l n   n l i m n → ∞   n 1 n .

conhecemos o l i m n → ∞ l n   n , então temos que calcular o l i m n → ∞ n 1 n .

Passo 3

Para calcular o limite

l i m n → ∞   n 1 n

fazemos,

  n 1 n = e l n   n 1 n = e 1 n l n   n

tomando o limite,

l i m n → ∞   n 1 n = e l i m n → ∞ l n   n l i m n → ∞ n = e ∞ ∞

por conta dessa divergência vamos aplicar a regra de L’Hospital:

e l i m n → ∞ l n   n n = e l i m n → ∞ d d n l n   n d d n n = e l i m n → ∞ 1 n 1 = e l i m n → ∞ 1 n

tomando o limite,

e l i m n → ∞ 1 n = e 1 ∞ = e 0 = 1

voltando

l i m n → ∞   n 1 n = e l i m n → ∞ 1 n = 1

Passo 4

olhando para o limite da sequência

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ l n   n n 1 n = l i m n → ∞ l n   n l i m n → ∞   n 1 n = ∞ 1 = ∞

l i m n → ∞ a n = ∞ .

Assim, temos que a sequência a n = l n   n n 1 n não é convergente.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A sequência a n = l n   n n 1 n não é convergente.

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