Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2017, Questão 1a

Determinar se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 1 - 1 n n 1 - cos 1 n

Passo 1

Vamos começar considerando a série absoluta

n = 1 n 1 - cos 1 n

Vamos comparar essa série com alguma outra. Em especial, temos a série

n = 1 1 n 3 / 2

que é uma p - série com p = 3 / 2 > 1 . Assim está serie converge. Beleza, então vamos aplicar o teste da comparação no limite, com:

lim n n 1 - cos 1 n 1 n 3 / 2 = lim n n 3 / 2 + 1 / 2 1 - cos 1 n =

lim n n 2 1 - cos 1 n

Beleza, e agora? Agora usamos uma propriedade trigonométrica. Teremos que:

sen 2 θ 2 = 1 - cos θ 2

Assim, teremos:

1 - cos 1 n = 2 sen 2 1 2 n

Show, então nosso limite vai ficar:

lim n n 2 1 - cos 1 n = lim n n 2 2 sen 2 1 2 n = 2 l i m n n sen 1 / 2 n n sen 1 / 2 n

Para deixar mais claro o que tá rolando, vamos fazer agora a substituição: u = 1 2 n n u 0

Assim, teremos:

2 l i m n n sen 1 / 2 n n sen 1 / 2 n = 2 l i m u 0 sen u 2 u l i m u 0 sen u 2 u = 1 2 l i m u 0 sen u u l i m u 0 sen u u

Pelo limite fundamental trigonométrico:

lim n n 1 - cos 1 n 1 n 3 / 2 = 1 2 l i m u 0 sen u u l i m u 0 sen u u = 1 2 1 1 = 1 2

Como temos

0 < 1 2 < 0

e a série

n = 1 1 n 3 / 2

converge, segue pelo teste da comparação no limite que

n = 1 n 1 - cos 1 n

converge e, portanto, a série

n = 1 - 1 n n 1 - cos 1 n

converge absolutamente. 😊

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Resposta

Converge absolutamente.

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