Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

Elaboração própria

Determine se a série converge ou diverge

n = 1 1 2 n - 1

Passo 1

Bom, de cara já vemos que essa série é muito parecida com a Série geométrica de r = 1 / 2 < 1 , que converge. Imaginamos, então que essa também deva convergir, mas qual teste aplicar para provar isso?

O primeiro que vem à nossa cabeça é o Teste da comparação, afinal as séries são muito parecidas. Podemos dizer, então, que

2 n - 1 < 2 n

Logo

1 2 n - 1 > 1 2 n

Encontramos um problema. O que o Teste da comparação diz a respeito de séries com termos maiores do que os de séries que convergem? Nada! Esse teste então não vai nos ajudar aqui. Porém, como esse termo - 1 parece não interferir na convergência da série (quando n tende a infinito), vamos tentar usar o Teste da comparação no limite.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar própria Série geométrica que acabamos de ver :

n = 1 1 2 n

Assim:

lim n a n b n = lim n 1 2 n - 1 × 2 n =

= lim n 2 n 2 n ( 1 - 1 / 2 n ) =

= lim n 1 ( 1 - 1 / 2 n ) = 1 > 0

Assim, pelo Teste da comparação no limite, a série do problema converge.

Resposta

A série converge.

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