Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

Elaboração própria.

Determine se a série converge ou diverge

n = 1 1 n 2 + 1

Passo 1

Como sempre, vamos analisar os índices de n para ter um palpite sobre a convergência da série. Temos, no denominador n 2 , porém, dentro de uma raiz. Então, em termos práticos, é como se tivéssemos apenas n no denominador, o que torna essa série muito semelhante com a Série harmônica, que diverge.

Porém, temos o seguinte:

n 2 + 1 > n 2

1 n 2 + 1 < 1 n 2 = 1 n

Como a série que estamos estudando possui termos menores que os da Série Harmônica, não conseguimos aplicar o Teste da comparação aqui. Vamos, então, tentar a comparação no limite.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar a Série harmônica, que acabamos de mencionar:

n = 1 1 n

Calculando o limite:

lim n a n b n = lim n 1 n 2 + 1 × n =

Colocando n 2 em evidência dentro da raiz vamos ter

= lim n n n 2 1 + 1 n 2 =

= lim n n n 2 1 + 1 n 2 =

= lim n n n 1 + 1 n 2 =

Como, neste caso, estamos pegando n indo para ele vai ser sempre positivo, então

n 2 = n

Nosso limite vai ficar

= lim n n n 1 + 1 n 2 =

= lim n 1 1 + 1 n 2 = 1 > 0

Assim, pelo Teste da comparação no limite, mostramos que essa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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