Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2016.1 - Matutino, Questão 1a

Determine se a série converge ou diverge

k = 1 k 3 2 + 3 k 8 - 3 k 2 + 2 k 5 2

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer nesse tipo de questão é fazer o teste da divergência. O termo geral da nossa série é.

a k = k 3 2 + 3 k 8 - 3 k 2 + 2 k 5 2

Calculando lim k a k

lim k k 3 2 + 3 k 8 - 3 k 2 + 2 k 5 2 = lim k k 3 2 1 + 3 k - 1 2 k 5 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = lim k 1 k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = 0    

Não podemos dizer se a série diverge ou não, teremos que utilizar outro teste. Vamos tentar o teste da comparação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos reescrever a k

a k = k 3 2 1 + 3 k - 1 2 k 5 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = 1 k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2

Tirando a parte feia desse termo geral, ele tá lembrando o termo geral da série harmônica. Pelo teste da comparação no limite temos que a nossa série irá divergir se

lim k 1 k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 1 k = lim k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = 1 2

Logo as duas séries divergem juntas.

Resposta

A série diverge

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas