Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2011, Questão 2a1

Determine se a série converge ou diverge

n = 1 1 + n 3 / 2 - n 3 / 4

Passo 1

A primeira ideia é ver se o limite do termo geral vai para 0 , como esse cara é levemente estranho não conseguimos fazer “só no olho” então vamos fazer o limite mesmo

lim n 1 + n 3 / 2 - n 3 / 4 = -

Isso é uma indeterminação, vamos multiplicar esse cara pelo conjugado, vai ficar assim

lim n 1 + n 3 / 2 - n 3 / 4 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 =

lim n 1 + n 3 / 2 2 - n 3 / 4 2 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 =

Como n vamos ter

lim n 1 + n 3 / 2 - n 6 / 4 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 = lim n 1 + n 3 / 2 - n 3 / 2 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 =

lim n 1 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 = 1 1 + 3 / 2 + 3 / 4 = 1 = 0

É Deu zero mesmo, então não podemos afirmar se essa série converge ou diverge

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Passo 2

E agora o que fazer? Repara que temos algo parecido com um polinômio dentro da raiz, vamos colocar o cara de maior grau para fora

1 + n 3 / 2 - n 3 / 4 = n 3 / 2 1 n 3 / 2 + 1 - n 3 / 4 = n 3 / 4 1 n 3 / 2 + 1 - n 3 / 4

Agora podemos colocar aquele n 3 / 4 em evidência

n 3 / 4 1 n 3 / 2 + 1 - n 3 / 4 = n 3 / 4 1 n 3 / 2 + 1 - 1

Aquele cara dentro do parêntese vai para 0 quando n , isso faz com que o teste da comparação no limite não funcione com o cara que está do lado de fora.

Mas em vez de usar esse cara, vamos usar ele na forma que está no limite lá em cima

1 + n 3 / 2 - n 3 / 4 = 1 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4

Como temos uma soma ali, quando fizermos as mesmas coisas vai dar um valor certinho e o teste da comparação no limite vai estar valendo, vamos arrumar esse novo cara primeiro

1 1 + n 3 / 2 + n 3 / 4 = 1 n 3 / 2 1 n 3 / 2 + 1 + n 3 / 4 =

1 n 3 / 4 1 n 3 / 2 + 1 + n 3 / 4 = 1 n 3 / 4 1 n 3 / 2 + 1 + 1

Agora se compararmos com 1 / n 3 / 4 vamos ter o limite dando 1 / 2 , vamos ver isso

a n = 1 + n 3 / 2 - n 3 / 4

E

b n = 1 n 3 / 4

Assim

lim n a n b n = lim n 1 + n 3 / 2 - n 3 / 4 n 3 / 4 = lim n 1 n 3 / 4 1 n 3 / 2 + 1 + 1 n 3 / 4 =

lim n 1 1 n 3 / 2 + 1 + 1 = 1 0 + 1 + 1 = 1 2

Então a nossa série vai ser o mesmo comportamento da série

n = 1 1 n 3 / 4

Essa é uma p série com p < 1 então ela diverge, assim a nossa série do enunciado também diverge.

Resposta

Diverge

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