Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2018.1, Questão 2b

Questão 2: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

b )   n = 1 - 1 n sin 1 n

Passo 1

EPA! Uma série alternada! Então podemos pensar no Teste da série alternada (talvez você conheça como teste de Leibniz ). Mas o nome não importa muito, o que importa é como vamos aplicar esse teste! Vem comigo, então =)

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Passo 2

Bem, o teste nos pede duas condições:

  1. A série tem que ser alternada. Pra nossa alegria ela é! Afinal temos um - 1 n alternando o sinal dos termos.
  2. Segundo, temos que ter o termo sin 1 n sendo maior que 0 , mas ele tem que ser decrescente!

Vaja que se plicarmos o limite...

lim n sin 1 n = lim n sin 0 = 0

Agora só resta saber se é um termos decrescente! Vem comigo!

Passo 3

Veja bem que ser decrescente significa necessariamente que a derivada da função contínua correspondente à sequência deve ser negativa:

g x = sin 1 x                           g ' x = cos 1 x 1 x 2                          

g ' x = - cos 1 x x 2

Como x que representa o n , vai de 1 ao infinito positivo, então valor do cosseno e do x 2 é positivo sempre levando a derivada...

g ' x < 0

O que significa que g x é sempre decrescente para x de 1 ao . Da mesma forma é sin 1 n ... Decrescente!

Assim, pelo teste de Leibniz, a série a alternada

n = 1 - 1 n sin 1 n                       c o n v e r g e

Passo 4

MAS CALMA JOVEM! Não acabamos a análise ainda, pois o nosso problema nos pediu para verificar também quanto à convergência absoluta! Será que a série converge absolutamente?

Lembrando que convergir absolutamente significa...

n = 1 a n <

No nosso caso, a n é - 1 n sin 1 n ...

n = 1 - 1 n sin 1 n <

Como

- 1 n sin 1 n = - 1 n sin 1 n

O módulo - 1 n é sempre 1 , já o seno também pode sair do módulo já que o seno é positivo para valores de n = 1 até !

n = 1 - 1 n sin 1 n = n = 1 sin 1 n

Então perguntar se a série do enunciado converge absolutamente é perguntar se essa série de sin 1 / n converge. Vamos ver se isso é verdade?

Passo 5

Assim, essa análise que vamos fazer agora eu preciso te alertar que você precisa ter um feeling da resposta. Por exemplo, nesse caso, como tem a função 1 / n (termo da série harmônica), podemos ter o feeling de que a resposta dessa série diverge!

Para ver se isso é verdade, podemos comparar no limite! No caso, vamos comparar o termo da série que estamos testando, com o termo da harmônica...

lim n sin 1 n 1 n

Fazendo uma mudança rápida

1 n = x               e               n             x 0

lim n sin 1 n 1 n = lim x 0 sin x x = 1

Como o limite foi um número real, pelo teste da comparação no limite, se a séria de 1 / n (séria harmônica que a gente usou para comparar), se ela diverge então a nossa série comparada também diverge:

n = 1 - 1 n sin 1 n = n = 1 sin 1 n                         d i v e r g e

Passo 6

Com isso podemos concluir que a série

n = 1 - 1 n sin 1 n

Converge, mas não absolutamente, ou seja, ela converge apenas condicionalmente, saca?

Resposta

C o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e

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