Para as funções f cujas leis são dadas abaixo, verifique se são limitadas em seu domínio de definição. Caso f não seja limitada, verifique por qual sequência de pontos ela cresce (ou decresce) arbitrariamente:

m) f x ,   y = x 3 x 2 + y 2 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função que ele nos deu é limitada em seu domínio. Tá, mas o que é uma função limitada mesmo?

Uma função é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, I m f ⊂ [ a ,   b ] , onde a ,   b ∈ R . Também podemos definir uma função limitada quando existe um valor finito M tal que f ( x ,   y ) ≤ M para qualquer valor de x e y .

Então, vamos analisar nossa função com base nessa definição. Se não for possível encontrar esse valor M que limita nossa função, ou esse intervalo [ a ,   b ] , o enunciado pediu pra gente verificar onde a função é crescente ou decrescente definindo alguns pontos arbitrários.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = x 3 x 2 + y 2 3

Pra verificar se existe um número que limita a nossa função, vamos verificar o que acontece com ela quando x e y vão pra infinito, calculando o limite:

lim x ,  y → ∞ ⁡ x 3 x 2 + y 2 3

Pra facilitar nas contas, vamos usar as coordenadas polares na forma:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Assim, temos:

lim r → ∞ ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ 3

Usando a identidade cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , vamos ter:

lim r → ∞ ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ r 2 3

Simplificando:

lim r → ∞ ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ r 3 = lim r → ∞ ⁡ cos 3 ⁡ θ

Como o limite não depende de θ , temos:

lim r → ∞ ⁡ cos 3 ⁡ θ = cos 3 ⁡ θ

Mas a função cosseno é sempre limitada no intervalo [ - 1 ,   1 ] , para qualquer valor de θ . Portanto, podemos dizer que nossa função f ( x ,   y ) também é limitada. Isso pode ser visto melhor no gráfico abaixo:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   l i m i t a d a   e m   [ - 1 ,   1 ]

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6