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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x 4 sen 6 ⁡ x + y 5 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Qual afirmação é verdadeira?

  1. A função é continua em R 2
  2. A função é continua somente na origem
  3. A função é continua somente em R 2 \ ( 0,0 )
  4. A função não é continua.
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

O numerador é produto de funções continuas. O denominador é soma de funções continuas. Dessa forma podemos garantir que a fração vai ser continua quando o denominador for diferente de zero. Ele só vai ser zero em 0,0 .

Passo 2

Vamos analisar a continuidade nesse ponto, calculando o limite da função nesse ponto.

Como temos uma função seno é interessante tentarmos usar o teorema do sanduiche.

Temos

- 1 ≤ sen ⁡ x + y 5 ≤ 1

Então

0 ≤ sen 6 ⁡ x + y 5 ≤ 1

Passo 3

Vamos agora olhar o resto da fração

x 4 x 2 + y 2

x 2 + y 2 ≥ x 2

1 x 2 + y 2 ≤ 1 x 2

x 4 x 2 + y 2 ≤ x 4 x 2

x 4 x 2 + y 2 ≤ x 2

Além disso

0 ≤ x 4 x 2 + y 2 ≤ x 2

Passo 4

Vamos ter

0 ≤ x 4 sen 6 ⁡ x + y 5 x 2 + y 2 ⏟ f x , y ≤ x 2

Fazendo o limite das pontas

0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sen 6 ⁡ x + y 5 x 2 + y 2 ≤ 0

Então

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sen 6 ⁡ x + y 5 x 2 + y 2 = 0

Passo 5

Repara que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 sen 6 ⁡ x + y 5 x 2 + y 2 = f 0,0

Logo ela é continua nesse ponto. Vimos no passo 1 que ela é continua no resto todo, então ela é continua em todo R 2

Resposta

Alternativa (a)

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua.
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisq