Limites e continuidade
Considere a função
Qual afirmação é verdadeira?
- A função é continua em
- A função é continua somente na origem
- A função é continua somente em
- A função não é continua.
- Nenhuma das outras alternativas
Passo 1
O numerador é produto de funções continuas. O denominador é soma de funções continuas. Dessa forma podemos garantir que a fração vai ser continua quando o denominador for diferente de zero. Ele só vai ser zero em .
Passo 2
Vamos analisar a continuidade nesse ponto, calculando o limite da função nesse ponto.
Como temos uma função seno é interessante tentarmos usar o teorema do sanduiche.
Temos
Então
Passo 3
Vamos agora olhar o resto da fração
Além disso
Passo 4
Vamos ter
Fazendo o limite das pontas
Então
Passo 5
Repara que
Logo ela é continua nesse ponto. Vimos no passo 1 que ela é continua no resto todo, então ela é continua em todo
Resposta
Alternativa (a)
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