Considere f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. As derivadas parciais ∂ f ∂ x   e ∂ f ∂ y   são contínuas em ( 0,0 ) ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função aqui

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

Beleza?

E perguntou se as derivadas de primeira ordem são contínuas. Bom, para x , y = ( 0,0 ) temos que a função é constante então

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0

Então precisamos verificar se para x , y ≠ ( 0,0 ) as derivadas também serão nulas!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite em x

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0

A função é

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

Então

f 0,0 = 0

f x , 0 = x 2 . 0 x 2 + 0 = 0

Aí o limite

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x - 0 = 0

Beleza?

Agora pra y

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0

Substituindo temos

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ 0 . y 2 0 + y 4 - 0 y - 0 = 0

Passo 3

Vimos que tanto x , y = ( 0,0 ) e x , y ≠ ( 0,0 ) as derivadas são nulas, então sim, elas são contínuas

Resposta

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