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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

É possível definir a função

f x , y = x y x 2 + y 2

Na origem de modo que ela seja contínua?

Passo 1

Podemos verificar que, substituindo x = 0 e y = 0 na função, temos uma divisão por zero. Portanto, f não é continua na origem.

Basicamente, o que ele quer é que a gente encontre o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

Assim, definindo

f 0 ,   0 = lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

a função passa a ser contínua na origem. Show? Então mão na massa!

Passo 2

Primeiro podemos reescrever a função do nosso limite da seguinte maneira:

f x , y = x y x 2 + y 2

Assim, temos no denominador um termo que aparece bastante, que é x 2 + y 2 . Então vamos tentar fazer isso aqui e ver no que dá:

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

No numerador ficamos com y , então vamos tirar a raiz na inequação:

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

0 ≤ y ≤ x 2 + y 2

Abirndo esse módulo:

- x 2 + y 2 ≤ y ≤ x 2 + y 2

Agora, dividimos tudo por x 2 + y 2 :

- 1 ≤ y x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 3

Lembrando que

f x , y = x y x 2 + y 2

Temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x = 0

E como acabamos de ver, a expressão y x 2 + y 2 é limitada.

Então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 4

Conclusão: vimos que o limite de f na origem é 0 . Portanto, definindo f 0 ,   0 = 0 , a função passa a ser contínua na origem.

Resposta

Sim, basta fazer

f 0 ,   0 = lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

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