Utilizar a definição para encontrar as derivadas parciais:

a) f x ,   y = 4 x 2 - 3 x y ;             D 1 f x ,   y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação x (a gente sabe que é em relação a x por causa da notação D 1 f x ,   y que é igual a ∂ ∂ x ( f x ,   y ), usando a definição.

Pra derivadas parciais, nesse caso em relação a x , essa definição é dada pelo limite:

D 1 f x ,   y = f x + h ,   y - f ( x ,   y ) h  

Assim, deixamos somente x variar, mantendo y fixo, e h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f x ,   y = 4 x 2 - 3 x y na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = x + h na função, para obter f x + h ,   y :

f x + h ,   y = 4 ( x + h ) 2 - 3 ( x + h ) y

Abrindo o produto notável, temos:

f x + h ,   y = 4 x 2 + 2 x h + h 2 - 3 ( x + h ) y

Aplicando a propriedade distributiva nos dois termos:

f x + h ,   y = 4 x 2 + 8 x h + 4 h 2 - 3 x y - 3 y h

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f x ,   y = 4 x 2 - 3 x y , temos:

D 1 f x ,   y = f x + h ,   y - f ( x ,   y ) h  

D 1 f x ,   y = 4 x 2 + 8 x h + 4 h 2 - 3 x y - 3 y h - 4 x 2 + 3 x y h  

Simplificando os termos semelhantes:

D 1 f x ,   y = 8 x h + 4 h 2 - 3 y h h  

Agora podemos colocar h em evidência no numerador:

D 1 f x ,   y = h ( 8 x + 4 h - 3 y ) h  

Simplificando com o denominador:

D 1 f x ,   y = ( 8 x + 4 h - 3 y )  

Assim, quando h tende a zero, vamos obter:

D 1 f x ,   y = 8 x - 3 y

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 1 f x ,   y = 8 x - 3 y

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