5- Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em 0,0 :

a) f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x y   s e   x , y ≠ 0,0 a   s e   x , y = 0,0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão é muito bacana! Foi dada uma função f x , y e o objetivo principal é calcular o valor de a para que a função seja contínua no ponto 0,0 .

Ok, mas como podemos fazer isso?? 🤔

Primeiro vamos chamar x 2 + y 2 s e n 1 x y de g x , y

Certamente, no ponto 0,0 a função x 2 + y 2 s e n 1 x y é descontínua já que não temos como calcular s e n 1 0 .

Para contornar a situação, temos que determinar um valor a para preencher o “buraco” feito por essa descontinuidade.

Para preencher este buraco, temos que calcular o limite da função quando x , y → 0,0 , ou seja, calcular o valor que g tende, quando x , y tende a 0,0 .

Bora lá!

Passo 2

Calculando o limite de g x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x y , temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x y

Para essa função, vamos aplicar teorema do confronto ou método do sanduíche.

Na função g , temos s e n 1 x y e não conseguimos tirar essa divergência de 1 x y quando x , y tende a 0,0 .

Então nesses casos, temos que usar o teorema do confronto.

Vamos chamar x 2 + y 2 de h x , y e s e n 1 x y de j x , y . Ou seja, podemos representar g x , y como g x , y = h x , y · j x , y

A ideia é a seguinte:

Toda função seno, varia entre - 1 e 1 , ou seja j x , y está contida neste intervalo.

A função h x , y tende a 0 quando x , y tende a 0,0 .

Com isso, como temos 0 multiplicando algo que varia entre - 1 e 1 , o resultado será 0 .

Passo 3

A forma mais didática de se escrever isso é:

Considerando 1 x y = t

A função seno varia entre - 1 e 1 , logo

- 1 ≤ s e n t ≤ 1 ou - 1 ≤ j x , y ≤ 1

Multiplicando por h x , y todos os lados

- 1 · h x , y ≤ h x , y · j x , y ≤ 1 · h x , y

Se h x , y tende a 0 em 0,0 , temos

- 1 · 0 ≤ h x , y · j x , y ≤ 1 · 0

0 ≤ h x , y · j x , y ≤ 0

Isso significa que h x , y · j x , y varia entre 0 e 0 quanto x e y tende a 0,0 , ou seja, h x , y · j x , y tende a 0 .

Voltando h x , y como x 2 + y 2 e j x , y como s e n 1 x y

lim x , y → 0,0 ⁡ h x , y · j x , y = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x y = 0

Ou seja, para tampar o buraco feito pela divergência em 0,0 , f deve assumir o valor de 0 .

Logo, a tem que ser igual a 0

a = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a = 0

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