Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto P indicado.

b) f x ,   y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,     ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     x ,   y = ( 0 ,   0 )             P ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f ( x ,   y ) é contínua no ponto P ( 0 ,   0 ) . Nossa função é definida por partes e temos uma lei de formação para quando ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 ) e uma para quando x ,   y = ( 0 ,   0 ) . No ponto P ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 .

Uma função é contínua em um ponto quando o valor da função aplicada no ponto é igual ao limite dela naquele ponto, ou seja:

f x 0 ,   y 0 = lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f ( x ,   y )

Então, vamos calcular o valor da função no ponto dado e verificar se o valor do limite é o mesmo.

Vamos lá!

Passo 2

Nós já temos f 0 ,   0 = 0 , então vamos calcular o limite nesse ponto:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Mas primeiro vamos verificar se esse limite existe. Sabendo que um limite só existe quando não depende do caminho, vamos escolher um caminho genérico fazendo y = m x , de modo que variando m variamos o caminho, para verificar essa dependência. Substituindo, temos:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2

Elevando ao quadrado:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 2 - m 2 x 2 x 2 + m 2 x 2

Colocando x 2 em evidência:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 )

Simplificando:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ 1 - m 2 1 + m 2 = 1 - m 2 1 + m 2

Como o limite depende de m , ele depende do caminho, então podemos dizer que o limite não existe. E já que o limite nesse ponto não existe, a função é descontínua no ponto.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   d e s c o n t í n u a   n o   p o n t o

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h x , y = g f x , y e o conjunto na qual h é contínua. g t = t 2 + t , f x , y = 2 x + 3 y - 6