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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Determine h x , y = g f x , y e o conjunto no qual h é contínua.

g t = t + ln ⁡ t

f x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2

Passo 1

Primeiro, vamos achar h x , y ! O problema nos forneceu esse dado

h x , y = g f x , y

Ele também quem disse quem é g t . Então agora é só a gente substituir f x , y , onde tem a variável t .

h x , y = f ( x , y ) + ln ⁡ ( f ( x , y )

Como o problema também nos disse quem é f x , y , vamos seguir com a substituição

h x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2 + ln ⁡ 1 - x y 1 + x 2 y 2

Passo 2

A função h é o resultado de operações elementares (soma, multiplicação, logaritmo) entre funções contínuas, portanto, o conjunto no qual ela é contínua é o seu próprio domínio.

Pra achar esse domínio, temos que ver quais são as restrições da função.

Temos o denominador 1 + x 2 y 2 aparecendo 2 vezes, mas repare que ele nunca pode valer zero:

x 2 y 2 ≥ 0

⇒ 1 + x 2 y 2 ≥ 1

Então não precisamos nos preocupar com ele.

Passo 3

Agora vamos para restrição da função logarítmica! Lembra que ela não corta, nunca o eixo o y ? Assim, a única restrição da h é o logaritmo: o termo dentro dele tem que ser estritamente positivo:

1 - x y 1 + x 2 y 2 > 0

Como vimos, o denominador é sempre positivo, então o sinal dessa fração é o sinal do numerador. Logo, devemos ter:

1 - x y > 0

⇒ x y < 1

Portanto, h é contínua nos pontos cujo produto das coordenadas é estritamente menor que 1:

x , y ∈ R 2 x y < 1

Resposta

h x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2 + ln ⁡ 1 - x y 1 + x 2 y 2

é contínua no conjunto

x , y ∈ R 2 x y < 1

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