Verifique se a função é contínua. Caso contrário, redefina de maneira que f se estenda a uma função contínua quando possível.

a)

f x , y = 0 ,   s e   x = 0 x + y sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a função dada é contínua.

Mas como podemos fazer isso?

Para isso, temos que fazer o limite da função em um possível ponto de descontinuidade, nesse caso, quando x ��� 0 .

Depois, basta manipular o limite para esse ponto!!

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... fazendo o limite da função par ao ponto de possível descontinuidade, temos:

lim x → 0 ⁡ x + y sin ⁡ 1 x

Como se trata do produto de dois limites, podemos fazer:

lim x → 0 ⁡ x + y sin ⁡ 1 x = lim x → 0 ⁡ x + y * lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Passo 3

Agora, substituindo o limite, encontramos:

lim x → 0 ⁡ x + y sin ⁡ 1 x = y * lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Assim, não existe limite de sin ⁡ 1 x quando x → 0 .

Dessa forma, f ( x , y ) não é contínua e não pode ser modificado para se tornar contínua.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ( x , y ) não é contínua e não pode ser modificado para se tornar contínua.

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