4- Esboce o maior conjunto no qual a função é contínua:

f) f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 1   s e   x , y = 0,0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

A questão nos deu uma função dada por

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 1   s e   x , y = 0,0

Com base nela, temos que descobrir se ela é continua em todo domínio de x , y ou se existe alguns valores que fazem f ser indefinida.

Beleza, mas como fazemos isso?? 🤔

Determinar o maior conjunto em que a função é contínua é muito parecido com determinar o domínio da função.

No caso, temos que encontrar os valores que substituímos x , y fazem a questão ser indefinida ou descontínua.

Quando encontrarmos um conjunto de valores que fazem f ser descontínua, temos que exclui-la da resposta.

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, a nossa função tem duas caras:

x 2 y 3 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0

E

1   s e   x , y = 0,0

Primeiro vamos analisar se f é contínua em 0,0 .

Se substituirmos 0,0 em f , vamos encontrar uma indeterminação.

f 0 , 0 = 0 2 0 3 2 0 2 + 0 2 = 0 0

Então temos que encontrar outros métodos para saber para qual valor f tende quando x , y tente a 0,0 .

Pra isso, vamos calcular o limite de x 2 y 3 2 x 2 + y 2 quando ( x , y ) → 0,0

lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ x 2 y 3 2 x 2 + y 2

Nestes casos de limites de funções tridimensionais, podemos calcular o limite por meio de equações que passam pelo ponto que queremos estudar, no caso o ponto 0,0 e substituindo a equação na função.

Passo 3

Substituindo algumas retas em f , temos.

Para a reta x = y

lim ( y , y ) → 0,0 ⁡ y 2 y 3 2 y 2 + y 2 → y 5 3 y 2 → y 3 3

lim ( y , y ) → 0,0 ⁡ y 2 y 3 2 y 2 + y 2 = 0 3 = 0

Para a reta x = 0

lim ( 0 , y ) → 0,0 ⁡ 0 2 y 3 2 0 2 + y 2 = 0 y 2 = 0

Para a reta y = x 2

lim ( x , x ² ) → 0,0 ⁡ x 2 x 2 3 2 x 2 + x 2 2 → x 8 2 x 2 + x 4

Aplicando o método de L’Hopital, derivando em cima e em baixo, temos

d x 8 / d x d 2 x 2 + x 4 / d x = 8 x 7 4 x 3 + 4 x

Ainda não podemos substituir, então aplicamos a regra de L’Hopital novamente mais 3 vezes

d ³ ( 8 x 7 ) / d x ³ d ³ 4 x 3 + 4 x / d x ³ = 1680 x 4 24 = 70 x 4

lim ( x , x ² ) → 0,0 ⁡ x 2 x 2 3 2 x 2 + x 2 2 = 70 0 4 = 0

Para todos os limites que calculamos, encontramos 0 como o valor de f quando x , y tende a 0,0 .

Passo 4

Comparando o valor de tendencia de f com o valor efetivo de f , vemos que no ponto 0,0 a função tende a 0 , mas a função assume valor 1 .

f x , y = 1   s e   x , y = 0,0

Logo, há uma descontinuidade neste ponto.

Voltando à função

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0

Sabemos que em uma função, quando seu denominador vai a 0 , a função diverge. Ou seja 2 x 2 + y 2 tem que ser diferente de 0 .

2 x 2 + y 2 ≠ 0

Mas perai, quais valores atribuídos a ( x , y ) , 2 x 2 + y 2 vai ser igual a 0 ?

x e y estão elevados ao quadrado, ou seja, nenhum dos dois podem resultar em números negativos, ou seja, o único jeito de dar zero, é se x , y for 0,0 .

Foi o que encontramos anteriormente, então o conjunto de valores que fazem a função ser contínua são todos os valores de x , y , exceto 0,0 .

A forma mais didática de se escrever a resposta é:

f   é   c o n t i n u a   e m   x , y x , y ≠ 0,0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f   é   c o n t i n u a   e m   x , y x , y ≠ 0,0

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6