8 - É possível definir a função s e n x + y x + y no ponto 0,0 de tal modo que ela seja contínua? Justifique!

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa questão é muito legal! Temos uma função f x , y dada como

f x , y = s e n x + y x + y

Temos que encontrar um valor que faça f ser contínua no ponto 0,0 . Sabemos que f do jeito que temos aqui, não é contínua nesse ponto, já que

f 0,0 = s e n 0 + 0 0 + 0 = 0 0

Temos uma indeterminação nesse ponto.

Mas o que devemos fazer então?? 🤔🤔

Bem, o que fazemos é acrescentar um valor a f que faça ela ter outra cara neste ponto, desse jeito

f x , y = s e n x + y x + y   s e   x , y ≠ 0,0 a   s e   x , y = 0,0

Temos que acrescentar um valor que “tampe o buraco” feito pela indeterminação no ponto 0,0 .

Com isso a função f se torna contínua em todo domínio R 2 . Depois de analisar o que devemos fazer, bora para os cálculos!

Passo 2

Como vamos encontrar este valor a para tampar o buraco de f ?para encontrar o valor de a , vamos aplicar o limite em f e descobrir para qual valor a função tende quando nos aproximamos do ponto 0,0 . De forma mais matemática, o que vamos calcular é

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x + y x + y = a

O primeiro passo então, é calcular lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x + y x + y . Para isso, podemos nos aproximar do ponto 0,0 por meio de curvas em R 2 .

Mas essas curvas não podem ser aleatórias, elas devem passar pelo ponto que estamos estudando. Por exemplo:

Aproximando pela curva y = x , substituindo y por x

lim x , x → 0,0 ⁡ s e n x + x x + x

lim x , x → 0,0 ⁡ s e n 2 x 2 x

Aplicando L’Hopital, derivando o numerador e o denominador, temos

lim x , x → 0,0 ⁡ d s e n 2 x d x d 2 x d x

Pela regra da cadeia e por derivação de polinômios

d s e n 2 x d x = 2 cos ⁡ 2 x

d 2 x d x = 2

Substituindo os resultados no limite novamente, temos

lim x , x → 0,0 ⁡ 2 cos ⁡ 2 x 2 → lim x , x → 0,0 ⁡ cos ⁡ 2 x

Substituindo x por 0 , encontramos

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x + y x + y = lim x , x → 0,0 ⁡ cos ⁡ 0 = 1

Passo 3

Quanto mais curvas fizermos, mais embasamento nossa resposta terá, então aproximando pela curva y = 4 x 2 + x

lim x , 4 x 2 + x → 0,0 ⁡ s e n x + 4 x 2 + x x + 4 x 2 + x

lim x , 4 x 2 + x → 0,0 ⁡ s e n 4 x 2 + 2 x 4 x 2 + 2 x

Aplicando L’Hopital

lim x , 4 x 2 + x → 0,0 ⁡ d s e n 4 x 2 + 2 x d x d 4 x 2 + 2 x d x

Derivando pela regra da cadeia e por derivação de polinômios, temos

d s e n 4 x 2 + 2 x d x = 8 x + 2 cos ⁡ 4 x 2 + 2 x

d 4 x 2 + 2 x d x = 8 x + 2

Substituindo os resultados no limite

lim x , 4 x 2 + x → 0,0 ⁡ 8 x + 2 cos ⁡ 4 x 2 + 2 x 8 x + 2

Podemos cortar 8 x + 2 do numerador e do denominador e substituir x por 0 , resultando em

lim x , 4 x 2 + x → 0,0 ⁡ cos ⁡ 4 0 2 + 2 0

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x + y x + y = lim x , 4 x 2 + x → 0,0 ⁡ cos ⁡ 0 = 1

Passo 4

Observe que temos um script aqui

lim g x , y → 0 ⁡ s e n g x , y g x , y

Considerando uma função qualquer g x , y , vamos calcular este limite.

1°- aplicamos L’Hopital

lim g x , y → 0 ⁡ d s e n g x , y d x d g x , y d x

2°- aplicando a regra da cadeia e derivação de polinômios

d s e n g x , y d x = g ' x , y cos ⁡ g x , y

d g x , y d x = g ' x , y

3°- substituindo os resultados no limite

lim g x , y → 0 ⁡ g ' x , y cos ⁡ g x , y g ' x , y

4°- cortando g ' x , y do numerador e denominador

lim g x , y → 0 ⁡ cos ⁡ g x , y

5°- substituindo g x , y por 0

lim g x , y → 0 ⁡ cos ⁡ 0 = 1

Pelo fato de o que está dentro de s e n ser igual ao denominador de f , o limite de f sempre resultará em 1 no ponto 0,0 .

Passo 5

Com isso, encontramos o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x + y x + y = 1

Lembre-se que no início tínhamos que tampar um buraco de f feito por uma descontinuidade no ponto 0,0 e determinamos

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x + y x + y = a

Ora, se o limite que calculamos tende a 1 , logo a = 1 .

Com isso, a função f terá uma cara diferente

f x , y = s e n x + y x + y   s e   x , y ≠ 0,0 1   s e   x , y = 0,0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x , y = s e n x + y x + y   s e   x , y ≠ 0,0 1   s e   x , y = 0,0

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6