Seja:

f x , y = 2 x y x 2 + y 2

  1. Verifique que as curvas y = t g a x , com a ∈ - π 2 , π 2 , são curvas de n��vel de f.
  2. É possível definir f na origem de modo a torná-la contínua? Justifique.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Para determinar uma curva de nível, vamos substituir a função y na função f ( x , y ) e determinar o gráfico da função como uma curva de nível. Bora lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim:

f x , y = 2 * tan ⁡ a * x * x ( x 2 + tan 2 ⁡ a x 2

2 tan ⁡ a sec 2 ⁡ a

2 sin ⁡ a * cos ⁡ a

Se “a” varia de - π 2 , π 2 , temos o seguinte gráfico:

E o gráfico da função f ( x , y ) já calculada como curva de nível é:

Lateralmente:

Visão superior:

E uma visão superior num ângulo qualquer:

As linhas do gráfico já são as curvas de níveis.

Veja por exemplo que se a é igual π 2 a função vai para z, e é uma curva de nível. Como visto na visão lateral, há uma curva de nível em k=0, e isso pros demais valores no intervalo de a, visto que é só uma reta que varia em x e y, não alterando no eixo z. Veja para ajudar:

Caso se interesse, os primeiros gráficos foram produzidos com o software Wolfram Mathematica, e o segundo com o Geogebra.

Passo 3

Para b:

Se f(x,y) for continua na origem, então ela existe no limite onde y , x → ( 0,0 ) , então:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 * x * y x 2 + y 2

Por ser um limite duplo, podemos usar o teorema de que se cada um dos limites x e y derem o mesmo valor na sua limitação, se forem iguais então o limite existe no ponto, caso ele seja diferente, o limite não existe. Vamos lá:

lim x → 0 ⁡ 2 * x x 2 = d i v e r g e

E o mesmo para y, assim, ela so seriam iguais de x e y fossem iguais. Como x e y são 0, então ficaria 2 0 e assim diverge.

Resposta

B) não, ela diverge.

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6