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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Discuta a continuidade da função abaixo:

f x , y = x y x + y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Essa função é contínua em qualquer ponto do R 2 , porém devemos verificar agora se o limite é igual ao valor da função em ( 0,0 ) .

Ou seja:

l i m x , y → 0,0 f x , y = 0

Passo 2

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x + y = 0 ⋅ ( 0 ) 0 + 0 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x y x + y = x x + y ⋅ y

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Colocar a expressão entre extremos:

Se x > 0 :

0 ≤ x ≤ x + y

Dividindo por x + y :

⇒ 0 ≤ x x + y ≤ 1

Se x < 0 :

- x + y ≤ x ≤ 0

Dividindo por x + y :

⇒ - 1 ≤ x x + y ≤ 0

Juntando as duas desigualdades:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Passo 5

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Temos que multiplicar por y :

Se y > 0 :

- 1 ⋅ y ≤ x x + y ⋅ y ≤ 1 ⋅ ( y )

Se y < 0 , temos exatamente a mesma coisa, pois os extremos são iguais!

⇒ - y ≤ x y x + y ≤ y

Passo 6

Tirar os limites:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y

Passo 7

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) = 0

l i m x , y → ( 0,0 ) y = 0

Passo 8

Substituir na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y = 0

Portanto l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0

Então, a função é contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

Função é contínua em todo o R 2 .

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