Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Passo 1

Vamos lá, exemplos de funções contínuas é mole.

É só a gente pensar em funções polinomiais ou funções compostas de funções polinomiais, mas sem restrições de domínio, já que o enunciado pede que as funções sejam definidas em todo o R 2 .

Eu pensei nessas funções aqui:

f x , y = x 2 + 2 x y - 5

Que é uma função polinomial simples.

f x , y = x 4 - y + 3 x 2 + 1

Que é uma função onde o denominador é sempre diferente de zero.

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 ,     s e     x , y ≠ 0,0     0 ,     s e     x , y = ( 0,0 )

Que é uma função que eu não pensei sozinha, mas que me inspirei em outras questões de continuidade de funções que a gente já fez.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos partir para as funções descontínuas.

Nesse caso, as funções tem que estar definidas em todo o R 2 , mas tem que ser descontínuas em pelo menos um ponto.

Tá vendo essa ultima função que definimos como função continua alí no passo 1?

Então, se a gente mudar uma coisinha pequena nela, ela vai deixar de ser contínua em todo o R 2 . Olha só:

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 ,     s e     x , y ≠ 0,0     1 ,     s e     x , y = ( 0,0 )

Porque quando ela era uma função contínua, o l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0

E agora

l i m x , y → 0,0 f x , y ≠ f 0,0 = 1

Beleza?!

E aí para os outros dois exemplos que faltam a gente pode seguir o mesmo raciocínio dessa função e pegar outras funções definidas por partes que a gente sabe que são contínuas e mudar o valor da definição da função no ponto em que nossa função muda de definição.

Ou a gente pode simplesmente usar essa função aí mesmo que já usamos, mas mudar o vaor de f ( 0,0 ) para valores diferentes de zero (que é onde ela é contínua) e para valores diferentes de 1 (porque já usamos esse valor no primeiro exemplo rs).

Esse seria um trabalho mais de preguiçoso, mas se você não conseguir se lembrar de outras funções definidas por partes que sejam contínuas para fazer essa alteração, tá valendo também.

Mas, como aqui a gente tá treinando pra prova, vamos pegar funções diferentes dessa que já usamos.

f x , y = x y x + y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     4 ,     x , y = ( 0,0 )

Esse aqui me inspirei num exercício de fixação.

E

f x , y = sen ⁡ x y x y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = ( 0,0 )

Esse daqui me inspirei no limite fundamental trigonométrico que a gente sabe que vale 1.

Resposta

Funções contínuas:

f x , y = x 2 + 2 x y - 5

f x , y = x 4 - y + 3 x 2 + 1

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 ,     s e     x , y ≠ 0,0     0 ,     s e     x , y = ( 0,0 )

Funções descontínuas:

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 ,     s e     x , y ≠ 0,0     1 ,     s e     x , y = ( 0,0 )

f x , y = x y x + y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     4 ,     x , y = ( 0,0 )

f x , y = sen ⁡ x y x y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = ( 0,0 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas