Determine o conjunto de pontos de R 2 onde f não é diferenciável, sendo

a .   f x , y = x 3 + y 3 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função aqui

f x , y = x 3 + y 3 3

E pediu para acharmos o conjunto de pontos em que ela não é diferenciável

Então precisamos relembrar quais os critérios que deixam uma função diferenciável em todo R 2

  1. Ela precisa ser contínua sempre em todos os pontos no R 2
  2. Ela precisa ter derivadas parciais em todo R 2
  3. Essas derivadas parciais precisam ser contínuas em todo R 2

Então precisamos analisar cada um dos itens!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade dessa função

f x , y = x 3 + y 3 3

Como é uma raiz cúbica, ela pode assumir tanto valores positivos, quanto negativos. Além do zero. Então até aqui tudo bem.

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Começando pela parcial em x

  f x , y = x 3 + y 3 3

∂ f ∂ x = 1 3 x 3 + y 3 2 . ( 3 x 2 )

Essa derivada só não é contínua quando o denominador for zero, ou seja

- x 3 = y 3 → y = - x

Então ao longo dessa reta, a f não é diferenciável!

Passo 4

Derivando em relação à y vamos achar algo semelhante

∂ f ∂ y = 1 3 x 3 + y 3 2 . ( 3 y 2 )

E fazendo o denominador ser zero

y 3 = - x 3

y = - x

Então realmente, ao longo dessa reta a função não é diferenciável!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y = - x

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