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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Defina f 0 ,   0 de maneira a estender

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

a uma função contínua na origem.

Passo 1

Podemos verificar que, substituindo x = 0 e y = 0 na função, temos uma divisão por zero. Portanto, f não é continua na origem.

Basicamente, o que ele quer é que a gente encontre o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

Assim, definindo

f 0,0 = lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

a função passa a ser contínua na origem. Show? Então mão na massa!

Passo 2

Agora temos que resolver esse limite, mas substituindo 0,0 na função, cairemos em uma indeterminação. Deste modo, vamos usar mexer um pouco nessa equação para usar o teorema do anulamento! Vamos lá!

Repara que no denominador um termo que aparece bastante, que é x 2 + y 2 . Então vamos tentar fazer isso aqui e ver no que dá:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

No numerador temos x 2 - y 2 , então vamos subtrair y 2 na inequação:

- y 2 ≤ x 2 - y 2 ≤ x 2

Agora, dividimos tudo por x 2 + y 2 (não precisa inverter os sinais porque x 2 + y 2 ≥ 0 ):

- y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2

Pronto! Agora vamos analisar os extremos dessa sequência!

Passo 3

Temos que tentar limitar isso, e parecemos estar no bom caminho! Podemos mostrar tranquilamente que o termo da direita é limitado. Como já vimos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

Dividindo tudo por x 2 + y 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Ótimo! Então, voltando pra nossa inequação:

- y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 4

Agora vamos ver esse termo da esquerda. Vamos fazer algo bem parecido:

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Multiplicando por - 1 (tem que trocar os sinais):

0 ≥ - y 2 x 2 + y 2 ≥ - 1

Logo:

- 1 ≤ - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ - 1 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Ótimo, agora quase acabou!

Passo 5

Lembrando que

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

Temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x y = 0

E como acabamos de ver, a expressão x 2 - y 2 x 2 + y 2 é limitada.

Então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 6

Conclusão: vimos que o limite de f na origem é 0 . Portanto, definindo f 0 ,   0 = 0 , a função passa a ser contínua na origem.

Resposta

f 0 ,   0 = 0

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