Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo R 2 :

(a) f x ,   y = x 3 + y 3 x 2 + y 2 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano ( x ,   y ) .

Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em x ,   y = ( 0 ,   0 ) e outra para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.

Nós já sabemos que para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 . Então, vamos apenas calcular o limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

Para calculá-lo, vamos sair da interminação usando as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Assim, teremos:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ + r 3 sin 3 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = lim r → 0 ⁡ r 3 ( cos 3 ⁡ θ + sin 3 ⁡ θ ) r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )

Simplificando:

lim r → 0 ⁡ r ( cos 3 ⁡ θ + sin 3 ⁡ θ ) ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )

E usando a identidade cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

lim r → 0 ⁡ r ( cos 3 ⁡ θ + sin 3 ⁡ θ ) 1 = lim r → 0 ⁡ r ( cos 3 ⁡ θ + sin 3 ⁡ θ )

Como nosso limite depende apenas de r , aplicando o limite, teremos:

= 0 ∙ ( cos 3 ⁡ θ + sin 3 ⁡ θ )

= 0

Que é o mesmo valor que a nossa função assume quando x ,   y = ( 0 ,   0 ) . Portanto, nossa função é contínua em todo R 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a

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Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6