Considere a série de funções trigonométricas ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x + sin ⁡ n π x .

  1. Analise a convergência pontual e uniforme da mesma;
  2. Denotando a soma da série por g ( x ) , prove que g é contínua em [0,1];
  3. Determine o valor dos coeficientes a n na identidade ∫ 0 1 g ( x ) d x = 1 π ∑ n = 1 ∞ a n , justificando os cálculos.

Passo 1

Boníssimo papiro! Segundo teoremas, a convergência uniforme de uma série ∑ f n x para uma função g garante a continuidade de g desde que f n sejam contínuas. Assim, observe que como calculado no item (a):

f n x = 2 n 2 sin ⁡ π 4 + n π x

A qual é contínua em x ∈ [ 0,1 ] , pela continuidade do seno. Logo, a convergência uniforme de sua série implica que g é contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6