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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

  1. Justifique por que

f x , y = x - 1 2 + 3 y + 1 2 x - 1 2 + y + 1 2 ; se x , y ≠ 1 , - 1 0 ; se x , y = 1 , - 1

Não é contínua no ponto 1 , - 1 .

Passo 1

  1. Para ser contínua, devemos ter:

lim x , y →    1 , - 1 ⁡ f x , y = f 1 , - 1 = 0

Então, vamos calcular esse limite.

Passo 2

Substituindo:

lim x , y →    1 , - 1 ⁡ x - 1 2 + 3 y + 1 2 x - 1 2 + y + 1 2 = 0 0

Temos uma indeterminação. Logo, devemos procurar outras formas para resolve-lo. Vamos testar o caminho x = y + 2 . Vai ficar:

lim y → - 1 ⁡ y + 1 2 + 3 y + 1 2 y + 1 2 + y + 1 2 = l i m y → - 1 4 y + 1 2 2 y + 1 2 = 2

Testando o limite pelo caminho x = 2 y + 3 , temos:

lim y → - 1 ⁡ 2 y + 2 2 + 3 y + 1 2 2 y + 2 2 + y + 1 2 = l i m y → - 1 4 y + 1 2 + 3 y + 1 2 4 y + 1 2 + y + 1 2 = l i m y → - 1 7 y + 1 2 5 y + 1 2 = 7 5

Como os valores diferem, o limite não existe. Logo, a função não é contínua em - 1,1

Resposta

  1. lim x , y →    1 , - 1 ⁡ f x , y   ∄

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