11 - Seja

f x , y = s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2   s e   ( x , y ) ≠ 0,0 1   s e   x , y = 0,0

Mostre que f é contínua em 0,0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Esse tipo de questão é muito comum em listas e avaliações, então é muito importante compreender bem os conceitos que temos que usar.

Foi dada uma função f que quando ( x , y ) ≠ 0,0 , ela tem um comportamento, já quando x , y = 0,0 , ela em um comportamento diferente.

Nosso objetivo, é mostrar que f em contínua no ponto 0,0 . Mas como podemos fazer isso?? 🤔

A ideia principal é provar que o limite de s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 no ponto 0,0 é igual a 1 , que é o valor que a função assume nesse ponto. Ou seja, quando nos aproximamos do ponto 0,0 em qualquer direção, a função f tem que tender a 1 .

De forma matemática, o que devemos provar é

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Já que já temos uma noção do que precisamos fazer, vamos para os cálculos!

Passo 2

Como podemos calcular o limite?

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2

Nesse caso, existem duas formas mais evidentes e efetivas, a primeira é sairmos de coordenadas cartesianas e partirmos para as coordenadas polares. A segunda é fazermos aproximações por meio de curvas que passam pelo ponto 0,0 , substituindo x ou y no nosso limite pela curva que usamos.

Vamos usar a segunda opção, veja só. A primeira curva que podemos nos aproximar, é pela reta x = 0 , substituindo x por 0 no limite, temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ s e n 0 2 + y 2 0 2 + y 2

lim 0 , y → 0,0 ⁡ s e n y 2 y 2

Não podemos substituir y por 0 ainda, pois não nos livramos da indeterminação que temos, então para contornar isso, vamos usar L’Hopital, derivando em cima e embaixo.

lim 0 , y → 0,0 ⁡ d s e n y 2 d y d y 2 d y

Pela regra da cadeia e por derivação de polinômios, as derivadas vão ser

d s e n y 2 d y = 2 y C o s y 2

d y 2 d y = 2 y

Substituindo os resultados no limite

lim 0 , y → 0,0 ⁡ 2 y C o s y 2 2 y

Podemos cortar 2 y do numerador e do denominador, resultando em

lim 0 , y → 0,0 ⁡ C o s y 2

Agora sim substituindo y por 0 , temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ C o s 0 = 1

Passo 3

Aproximando pela curva y = 0 e fazendo os mesmos procedimentos, temos

lim x , 0 → 0,0 ⁡ s e n x 2 + 0 2 x 2 + 0 2

lim x , 0 → 0,0 ⁡ s e n x 2 x 2

Não podemos substituir x por 0 ainda, pois não nos livramos da indeterminação que temos, então para contornar isso, vamos usar L’Hopital, derivando em cima e embaixo.

lim x , 0 → 0,0 ⁡ d s e n x 2 d x d x 2 d x

Pela regra da cadeia e por derivação de polinômios, as derivadas vão ser

d s e n x 2 d x = 2 x C o s x 2

d x 2 d x = 2 x

Substituindo os resultados no limite

lim x , 0 → 0,0 ⁡ 2 x C o s x 2 2 x

Podemos cortar 2 x do numerador e do denominador, resultando em

lim x , 0 → 0,0 ⁡ C o s x 2

Agora sim substituindo x por 0 , temos

lim x , 0 → 0,0 ⁡ C o s 0 = 1

Passo 4

Observe que temos um script aqui

lim g x , y → 0 ⁡ s e n g x , y g x , y

Considerando uma função qualquer g x , y , vamos calcular este limite.

1°- aplicamos L’Hopital

lim g x , y → 0 ⁡ d s e n g x , y d x d g x , y d x

2°- aplicando a regra da cadeia e derivação de polinômios

d s e n g x , y d x = g ' x , y cos ⁡ g x , y

d g x , y d x = g ' x , y

3°- substituindo os resultados no limite

lim g x , y → 0 ⁡ g ' x , y cos ⁡ g x , y g ' x , y

4°- cortando g ' x , y do numerador e denominador

lim g x , y → 0 ⁡ cos ⁡ g x , y

5°- substituindo g x , y por 0

lim g x , y → 0 ⁡ cos ⁡ 0 = 1

Pelo fato de o que está dentro de s e n ser igual ao denominador de f , o limite de f sempre resultará em 1 no ponto 0,0 .

Isso prova que a função é contínua em 0,0 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

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