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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Considere a função

f x , y = 9 - x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 ≤ 4 b ,     4 < x 2 + y 2 ≤ 16

a) Determine o valor de b para que a função f x , y seja contínua no ponto (0,2);

b) Faça o esboço do gráfico de f x , y para b encontrado no item a

c) Mostre que não existe f y 0,2

d) A função f ( x , y ) é diferenciável em 0,2 ?

Passo 1

a) Vamos começar isso aqui. A questão nos pergunta o valor de b para que a função seja contínua no ponto ( 0,2 ) . Ou seja, vamos calcular esse limite com x , y → 0,2 .

lim x , y → ( 0,2 ) ⁡ f ( x , y ) = f 0,2 = 9 - 0 2 + 2 2 = 7

Observe que a função quando se aproxima de ( 0,2 ) dentro da região 4 < x 2 + y 2 ≤ 16 ela vale b , e que deve ser o resultado do nosso limite acima, logo

b = 7

Passo 2

b) Para o esboço do gráfico temos que quando z = 7 = b teremos 4 < x 2 + y 2 ≤ 16 , ou seja, um disco com raio variando ontre 2 e 4.

Já quando z = 9 - x 2 + y 2 é o nosso cone. Mas lembra que ele está restrito dentro da circunferencia x 2 + y 2 ≤ 4 no plano xy.

Uma continha rápida pra gente ver onde fica o pico desse cone, seria ond eo ponto x   e   y são iguais a zero

z = 9 - x 2 + y 2

z = 9

Ou seja

Atenção a restrição de xy. Juntando então tudo temos

Passo 3

c) essa letra agora nos pede pra mostrar que não existe f y 0,2 .   Bom, pra fazer isso vamos precisar considerar com x = 0

F y = f 0 , y = 9 - y 2 ,     x 2 + y 2 ≤ 4 7 ,     4 < + y 2 ≤ 16

Lembra que pela definição da derivada parcial, onde fazemos a coordenada x = 0 , a existência de f y ( 0,2 ) vai ser igual à de F ' ( 2 ) .

Com y entre 2 e 4 temos F y = 7 . Então F ' y = 0 (quando y   entre 2 e 4). Então F ' 2 + = 0 . Para existir, F ' ( 2 - ) deve ser igual a F ' ( 2 + ) . Vamos conferir isso

F ' 2 - = 9 - y 2 '

= - y y 2 → p a r a   y = 2 -

= - 2 2 = - 1

Temos então que F ' 2 + ≠ F ' 2 - , então f y 0,2 não existe.

Passo 4

d) Próxima coisa que ele nos pergunta é se a função f ( x , y ) é diferenciável em 0,2 , que a resposta é NÃO, afial de contas nem mesmo existe f y ( 0,2 ) como provamos anteriormente.

Resposta

a )   b = 7 .

b )

c )   ∄ f y ( 0,2 ) .

d )   n ã o   é   d i f e r e n c i á v e l .

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Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que se