9 - Idem para a função x y x 2 + y 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão é muito legal! Temos uma função f x , y dada como

f x , y = x y x 2 + y 2

Temos que encontrar um valor que faça f ser contínua no ponto 0,0 . Sabemos que f do jeito que temos aqui, não é contínua nesse ponto, já que

f 0,0 = 0 · 0 0 2 + 0 ² = 0 0

Temos uma indeterminação nesse ponto.

Mas o que devemos fazer então?? 🤔🤔

Bem, o que fazemos é acrescentar um valor a f que faça ela ter outra cara neste ponto, desse jeito

f x , y = x y x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 a   s e   x , y = 0,0

Temos que acrescentar um valor que “tampe o buraco” feito pela indeterminação no ponto 0,0 .

Com isso a função f se torna contínua em todo domínio R 2 . Depois de analisar o que devemos fazer, bora para os cálculos!

Passo 2

Como vamos encontrar este valor a para tampar o buraco de f ?para encontrar o valor de a , vamos aplicar o limite em f e descobrir para qual valor a função tende quando nos aproximamos do ponto 0,0 . De forma mais matemática, o que vamos calcular é

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = a

O primeiro passo então, é calcular lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 . Para isso, podemos nos aproximar do ponto 0,0 por meio de curvas em R 2 .

Mas essas curvas não podem ser aleatórias, elas devem passar pelo ponto que estamos estudando. Por exemplo:

Aproximando pela curva y = x , substituindo y por x

lim x , x → 0,0 ⁡ x x x 2 + x 2

lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 2 x 2

Cortando x 2 do numerador e do denominador

lim x , x → 0,0 ⁡ 1 2 = 1 2

Aproximando pela curva y = x , f tende ao valor 1 2

Passo 3

Aproximando pela curva y = - x

lim x , - x → 0,0 ⁡ x - x x 2 + - x 2

lim x , - x → 0,0 ⁡ - x 2 2 x 2

Cortando x 2 do numerador e do denominador

lim x , - x → 0,0 ⁡ - 1 2 = - 1 2

Aproximando pela curva y = - x , f tende ao valor - 1 2

Com isso vemos que o limite de f não existe no ponto 0,0 já que aproximando do ponto por curvas diferentes foram obtidos resultados diferentes.

Portanto

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = d i v e r g e

Com isso é impossível determinar um valor para a que tampe o buraco de f ou faça com que ela seja contínua no ponto.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Não é possível determinar um valor para a .

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