4- Esboce o maior conjunto no qual a função é contínua:

d) f x , y = l n x 2 + y 2 - 4

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, temos que determinar qual o maior conjunto no qual a função é contínua. Mas peraí, o que isso significa? 🤔

Dizer qual é o maior conjunto no qual a função é contínua é dizer quais são os conjuntos de valores possíveis para x , y , algo um pouco parecido com o domínio da função.

Neste caso temos uma função dada por:

f x , y = l n x 2 + y 2 - 4

Você lembra como é o gráfico de l n ?

Vemos que ln ⁡ x é definido quando x > 0 .

Então a principal ideia dessa questão é dizer para quais valores de x , y f x , y é definida.

Bora lá!

Passo 2

Como vemos antes ln ⁡ x é definida quando x > 0 , trazendo essa informação para nosso probleminha, temos que l n x 2 + y 2 - 4 é definida quando x 2 + y 2 - 4 > 0

Organizando de forma mais matemática essa ideia, temos

x 2 + y 2 - 4 > 0

x 2 + y 2 > 4

Vemos que essa inequação é muito parecida com a equação da circunferência, onde

x 2 + y 2 = R a i o ²

No caso, como nossa função é definida em x 2 + y 2 > 4 , ou seja, para pontos de x , y de raio maior que 2 a partir do eixo z , a função não será definida quando x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 3

Com base nas afirmações que construímos anteriormente, vemos que a função f é contínua apenas fora da circunferência x 2 + y 2 > 4 .

A forma mais didática de escrever isso é

f   é   c o n t í n u a   e m   x , y ∈ R x 2 + y 2 > 4

Só por curiosidade, vamos ver o gráfico de f ?

Podemos ver de forma mais física que a função é indefinida dentro da circunferência que encontramos.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f   é   c o n t í n u a   e m   x , y ∈ R x 2 + y 2 > 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6