(Cap. 14.2 – Ex.26) Determine h x , y = g ( f x , y ) e o conjunto no qual h contínua.

g t = t + ln ⁡ t , f x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2

Passo 1

Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?

Esse exercício é bem conceitual, então precisamos ir com calma com o que nos é pedido.

O nosso objetivo é definir h ( x , y ) , isso precisa ficar bem claro. O enunciado coloca h x , y em equivalência a g ( f x , y ) . Porém conhecemos f ( x , y ) , ou seja, g f x , y = g 1 - x y 1 + x 2 y 2 .

O que definimos até agora foi que a função g tem como variável independente 1 - x y 1 + x 2 y 2 , ok?

Sabemos também que a função g é definida por g t = t + l n   t .

Logo, h x , y = g 1 - x y 1 + x 2 y 2 = t + ln ⁡ t

Para achar h ( x , y ) basta substituir t por 1 - x y 1 + x 2 y 2 .

h x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2 + l n   1 - x y 1 + x 2 y 2  

Perfeito, definimos h ( x , y )

Passo 2

Agora a intenção é verificar em qual conjunto de valores h é uma função contínua.

Lembrando que na matemática, uma função é continua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objetos correspondem a pequenas variações nas imagens, ou seja, vamos encontrar os valores que podem ser inseridos na função que encontraremos uma imagem no campo dos números reais.

Para isso, observaremos onde a função pode dar errado. Tá, mas como assimmmmm?

Matematicamente algumas coisas nunca podem acontecer. Como é o caso da divisão por zero.

Na nossa função, por exemplo, os denominadores não podem ser zero.

Como o denominador 1 + x 2 y 2 > 0 , a função racional 1 - x y 1 + x 2 y 2 é contínua.

Explicando essa última frase: para qualquer valor de x e y , o denominador será maior que zero:

Como x   e   y estão elevados ao quadrado, eles só podem assumir valores positivos ou zero, quaisquer que eles sejam. E quando o resultado for zero, o resto do denominador é uma soma com 1 , ou seja, denominador será sempre maior que zero.

l n   1 - x y 1 + x 2 y 2   é contínua no intervalo em que 1 - x y 1 + x 2 y 2 > 0 .

Uma função logarítmica só existe para valores maiores que zero.

Como o denominador é maior que zero, basta que o numerador também seja.

Logo, 1 - x y > 0 → y < 1 / x .

Assim, o conjunto para que h x , y seja contínua é { x , y |   y < 1 / x } .

Fala sério, nem foi tão difícil assim!

Pra essa questão é isso! Bora pra mais uma?

Resposta

O conjunto para que h x , y seja contínua é { x , y |   y < 1 / x } .

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