Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo R 2 :

(b) f x ,   y = x y x 2 + y 2 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano ( x ,   y ) .

Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em x ,   y = ( 0 ,   0 ) e outra para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.

Nós já sabemos que para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.

Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x 2 + y 2

O fato da potência no numerador ser menor do que a do denominador, já nos dá um indício de que esse limite pode não existir. Para verificar isso, vamos tentar calcular o limite por dois caminhos diferentes, ao longo de x = 0 e ao longo de x = y . Se o valor do limite for o mesmo para todos os caminhos, podemos dizer que o limite existe.

Vamos começar calculando ao longo de x = 0 :

lim y → 0 ⁡ 0 ∙ y 0 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora para x = y , vamos ter:

lim y → 0 ⁡ y ∙ y y 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ y 2 2 y 2

Simplificando:

= lim y → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Como o limite possui valores diferentes para caminhos diferentes, podemos dizer que o limite não existe e, portanto, a função é descontínua no ponto ( 0 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   d e s c o n t í n u a   e m   ( 0 ,   0 )

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6