3. Seja f :   R → R dada por f x , y = x 3 y x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ 0 ,   0 0 ,     s e   x ,   y = 0 ,   0

a) Decida se f é contínua em 0 ,   0 .

b) Calcule ∂ f ∂ x 0 ,   0 e ∂ f ∂ y 0 ,   0 .

c) A função f é diferenciável em 0 ,   0 ?

Passo 1

a) Olá, pessoal! Tudo bom? O enunciado nos deu a seguinte função

f x , y = x 3 y x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ 0 ,   0 0 ,     s e   x ,   y = 0 ,   0

E quer saber se ela é contínua em 0 ,   0 . Para ela ser contínua nesse ponto, precisamos satisfazer a seguinte condição,

f x 0 ,   y 0 = lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x 0 ,   y 0

Ou seja, temos que verificar se

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y x 2 + y 2 = 0

Para resolver esse limite, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Bora lá!

Passo 2

Pelo Teorema do Sanduíche, temos que se

g x , y ≤ f x , y ≤ h x , y

e

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ g x , y = lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ h x , y = L

então:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Intuitivo né? A função f está “ensanduichada” entre as funções g e h , então o limite delas tem que ser o mesmo. Na prática, temos que encontrar uma expressão contida na função que esteja limitada entre dois extremos.

Vamos calcular:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y x 2 + y 2

Perceba que:

0 ≤ y ≤ y 2 + x 2

Beleza? Isso porque x 2 ≥ 0 , então é lógico que y ≤ y 2 + x 2 , pois estou somando algo não negativo. Agora, vamos dividir tudo por:

x 2 + y 2

Lembrando que esse termo é não negativo, então nada de inverter os sinais da inequação. Fica:

0 x 2 + y 2 ≤ y x 2 + y 2   ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

⇒ 0 ≤ y x 2 + y 2 ≤ 1

Percebeu que essa expressão está contida na nossa função?

f x , y = x 3 y x 2 + y 2 = x 3 y x 2 + y 2

Agora vamos tomar aquela desigualdade e multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual à nossa função. Nesse caso, basta multiplicar por x :

0 ≤ y x 2 + y 2 ≤ 1

Se x > 0 :

⇒ 0 ⋅ x 3 ≤ x 3 y x 2 + y 2 ≤ 1 ⋅ x 3

⇒ 0 ≤ x 3 y x 2 + y 2 ⏟ f x , y ≤ x 3

Se x < 0 , devemos inverter as desigualdades:

⇒ 1 ⋅ x 3 ≤ x 3 y x 2 + y 2 ⋅ x ≤ 0 ⋅ x 3

⇒ x 3 ≤ x 3 y x 2 + y 2 ⏟ f ( x , y ) ≤ 0

Agora vem a cereja do bolo: basta fazer os limites em cada termo:

l i m x , y → 0,0 0 ≤ l i m x , y → 0,0 x 3 y x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x

ou

l i m x , y → 0,0 x ≤ l i m x , y → 0,0 x 3 y x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → 0,0 0

Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:

l i m x , y → 0,0 0 = 0

l i m x , y → 0,0 x = 0

Logo, de uma forma ou de outra:

0 ≤ l i m x , y → 0,0 x 3 y x 2 + y 2 ≤ 0

Então, a única forma de essa desigualdade ser satisfeita é que esse termo seja zero.

Portanto:

l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2 = 0

Logo a função é continua no ponto 0 ,   0 .

Passo 3

b) Agora precisamos calcular as derivadas parciais no ponto 0 ,   0 . Como no ponto 0 ,   0 , a nossa função é igual 0 .

Então, para calcular a derivada parcial nesse ponto ( 0,0 ) a gente não pode simplesmente derivar o 0 . Aí seria fácil demais né?!

Mas, como sempre tem que ter algo pra complicar, nesses casos a gente vai ter que calcular as derivadas parciais usando a definição de derivada parcial, que nada mais é do que um limite.

Mas relaxa, nem é tão difícil assim. Você já conhece definição de derivada, então não vai ser uma parada tão diferente assim! Olha:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Vamos então calcular as derivadas parciais em ( 0,0 ) da nossa função:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 x 3 0 x 2 + 0 2 - 0 x - 0 = l i m x → 0   0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 0 3 y 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = l i m y → 0   0 = 0

Prontinho! Vamos para letra C!

Passo 4

c) Agora precisamos dizer se a função é diferenciavel no ponto 0 ,   0 .

Para saber se uma função de mais de uma variável é diferenciável, existem três teoremas:

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Na letra A, vimos que a função é continua em 0 ,   0 , ou seja, critério 1 está ok. Na letra B, calculamos as derivadas parciais, ou seja, critério 2 também está ok. Ou seja, pelo critério 3, temos que a função é diferenciavel no ponto.

Fim!

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h x , y = g f x , y e o conjunto na qual h é contínua. g t = t 2 + t , f x , y = 2 x + 3 y - 6