Utilizar a definição para encontrar as derivadas parciais:

b) f x ,   y = 3 x y + 6 x - y 2 ;             D 2 f x ,   y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação y usando a definição de derivada parcial. A gente sabe que essa derivada é em relação a y por causa da notação D 2 f x ,   y , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e que é igual a ∂ ∂ y ( f x ,   y ).

Bom, para derivadas parciais, em relação a y , essa definição é dada pelo limite:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ f x ,   y + h - f ( x ,   y ) h

Assim, deixamos somente y variar, mantendo x fixo, e h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f x ,   y = 3 x y + 6 x - y 2 na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo y = y + h na função, para obter f x ,   y + h :

f x ,   y + h = 3 x ( y + h   ) + 6 x - ( y + h   ) 2

Abrindo o produto notável, temos:

f x ,   y + h = 3 x ( y + h   ) + 6 x - ( y 2 + 2 y h + h 2 )

Aplicando a propriedade distributiva nos termos:

f x ,   y + h = 3 x y + 3 x h + 6 x - y 2 - 2 y h - h 2

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f x ,   y = 3 x y + 6 x - y 2 , temos:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ f x ,   y + h - f ( x ,   y ) h

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ 3 x y + 3 x h + 6 x - y 2 - 2 y h - h 2 - 3 x y - 6 x + y 2 h

Simplificando os termos semelhantes:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ 3 x h - 2 y h - h 2 h

Agora podemos colocar h em evidência no numerador:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ h ( 3 x - 2 y - h ) h

Simplificando com o denominador:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ ( 3 x - 2 y - h )

Assim, quando h tende a zero, vamos obter:

D 2 f x ,   y = 3 x - 2 y

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 2 f x ,   y = 3 x - 2 y

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