2.5. O valor de k que torna a função

f x , y = e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ 0,0 k ,     s e   x , y = 0,0

contínua em R é

a. - 2 ;

b. - 1 ;

c. 0 ;

d. 1 ;

e. Não existe tal k

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma função f x , y definida por partes e nosso objetivo é verificar para qual valor de k a função se torna contínua.

Parece de boa? 😁

A função f é igual a k quando x , y = 0,0 e e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 quando x , y ≠ 0,0 .

Com isso, para a função f ser continua, a parte que é diferente de 0,0 tem que tender a k quando se aproxima de 0,0 .

Assim, se descobrirmos para qual valor a função f tende nesse ponto, podemos definir como o valor de k.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Pra isso, vamos calcular o limite de f tendendo a 0,0

lim x , y → 0,0 ⁡ e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2

Podemos aplicar o método de aproximação por curvas começando pela reta x = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ e 0 - 1 0 2 + y 2 - 1 0 2 + y 2

lim y → 0 ⁡ e - y 2 - 1 y 2

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador, temos

lim y → 0 ⁡ d e - y 2 - 1 d y d y 2 d y → lim y → 0 ⁡ - 2 y e - y 2 2 y

lim y → 0 ⁡ - e - y 2

Aplicando o limite...

lim y → 0 ⁡ - e - y 2 = - e 0 = - 1

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Fazendo a aproximação pela reta y = x

lim x , y → 0,0 ⁡ e x - 1 x 2 + y 2 - 1 x 2 + y 2 → lim x , x → 0,0 ⁡ e x - 1 x 2 + x 2 - 1 x 2 + x 2

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 x 2 - 1 2 x 2

lim x ��� 0 ⁡ e 2 x 3 - 2 x 2 - 1 2 x 2

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l novamente...

lim x → 0 ⁡ d e 2 x 3 - 2 x 2 - 1 d x d 2 x 2 d x → lim x → 0 ⁡ 6 x 2 - 4 x e 2 x 3 - 2 x 2 4 x

lim x → 0 ⁡ 4 x 6 4 x - 1 e 2 x 3 - 2 x 2 4 x

lim x → 0 ⁡ 6 4 x - 1 e 2 x 3 - 2 x 2

Aplicando o limite...

lim x → 0 ⁡ 6 4 x - 1 e 2 x 3 - 2 x 2 = 6 4 0 - 1 e 2 0 3 - 2 0 2

lim x → 0 ⁡ 6 4 x - 1 e 2 x 3 - 2 x 2 = - 1

Como todas nossas curvas estão convergindo para - 1 , então para f ser contínua, k deve ser igual a - 1 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

b) k = - 1

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