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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Seja a função f x , y = x 3 + y 3 x 2 + y 2 definida e contínua em R 2 - 0,0 . É possível estender f de maneira que ela seja contínua em todo R 2 ? Caso afirmativo, determine tal extenção.

Passo 1

Para que uma função seja contínua em um ponto, o limite tem de existir naquele ponto e ser igual ao valor da função naquele mesmo ponto. Ou seja, devemos ter:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0

Então, temos de calcular:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

Olhando para esse limite, percebemos que usar uma substituição com coordenadas polares talvez seja um bom negócio, devido aos termos elevados ao quadrado no denominador e aos termos elevados ao cubo no numerador. Temos:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

r → 0

Substituindo:

lim r → 0 ⁡ r c o s θ 3 + r s e n θ 3 r c o s θ 2 + r s e n θ 2 = lim r → 0 ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ + s e n 3 θ r 2 = lim r → 0 ⁡ r cos 3 ⁡ θ + s e n 3 θ = 0

Logo:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 0

Passo 2

Para a função ser contínu em 0,0 vamos ter lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0 = 0

Então, podemos definir f como:

f x , y = x 3 + y 3 x 2 + y 2 se x , y ≠ 0,0 0 se x , y = 0,0

Logo, f x , y agora é contínua em todo R 2

Resposta

f x , y = x 3 + y 3 x 2 + y 2 se x , y ≠ 0,0 0 se x , y = 0,0

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