2.7. Seja f x , y = x y 2 + x 3 y 6 5 x 4 + y 8 . Então o limite lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

a. é 2 2

b. é + ∞ ;

c. não existe;

d. é zero;

e. é 1 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular o limite da função f x , y = x y 2 + x 3 y 6 5 x 4 + y 8 para x , y → 0,0 .

Tem ideia de como fazer?

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

O limite é dado por

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 + x 3 y 6 5 x 4 + y 8

Podemos reescrever y 6 como y · y 5 , ou seja

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 + x 3 y · y 5 5 x 4 + y 8

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 + x 3 y y 5 x 4 + y 8

Assim, se fizermos a aproximação por x = 0 , temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 y 2 + 0 3 y y 5 0 4 + y 8

lim y → 0 ⁡ 0 y 8

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora, se nos aproximarmos pela reta x = y 2 ...

lim y 2 , y → 0,0 ⁡ y 2 y 2 + y 2 3 y y 5 y 2 4 + y 8

lim y → 0 ⁡ y 4 + y 7 y 5 y 8 + y 8

lim y → 0 ⁡ y 4 + y 7 y 5 2 y 8

Colocando y 4 em evidência no numerador e tirando a raiz do denominador...

lim y → 0 ⁡ y 4 1 + y 3 y 5 2 y 4

lim y → 0 ⁡ 1 + y 3 y 5 2

Fazendo y = 0 no limite, vamos obter

lim y → 0 ⁡ 1 + y 3 y 5 2 = 1 + 0 3 0 5 2

lim y → 0 ⁡ 1 + y 3 y 5 2 = 1 2

Como obtemos dois valores distintos, podemos afirmar que o limite não existe!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Não existe!

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