Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo R 2 :

(g) f x ,   y = x - 1 2 sin 2 ⁡ ( y ) x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1 ,     s e   x ,   y ≠ ( 1 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 1 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano ( x ,   y ) .

Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em x ,   y = ( 1 ,   0 ) e outra para x ,   y ≠ ( 1 ,   0 ) . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.

Nós já sabemos que para x ,   y = ( 1 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.

Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x - 1 2 sin 2 ⁡ ( y ) x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1

Pra sair da interminação, vamos começar reescrevendo a função do limite da seguinte maneira:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sin 2 ⁡ ( y ) ∙ x - 1 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1

Agora vamos tentar aplicar o teorema do confronto pra descobrir o valor desse limite. Vamos tentar limitar a expressão:

x - 1 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1

Como o numerador é um termo ao quadrado, ele vai ser sempre maior ou igual a zero. Além disso, repare que temos o mesmo termo expandido no denominador, só que somado a 2 y 2 . Então, o termo de cima vai ser sempre menor que o de baixo e teremos:

0 ≤ x - 1 2 ≤ x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1

Agora podemos dividir todo mundo por x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1 :

0 ≤ x - 1 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1 ≤ 1

Tá, mas essa não é nossa expressão né? Tá faltando uma coisinha aí, que é multiplicar por sin 2 ⁡ ( y ) . Fazendo isso, temos:

0 ≤ x - 1 2 sin 2 ⁡ ( y ) x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1 ≤ sin 2 ⁡ ( y )

E aplicando o limite em todos os termos:

l i m x ,   y → 1 ,   0 0 ≤ l i m x ,   y → 1 ,   0 x - 1 2 sin 2 ⁡ ( y ) x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1 ≤ l i m x ,   y → 1 ,   0 sin 2 ⁡ ( y )

Agora repare que, pelo Teorema do confronto, se os limites das funções nos extremos existirem e forem iguais, o limite da função do meio também vai ser existir e terá o mesmo valor.

Passo 3

Calculando o limite da esquerda, temos:

l i m x ,   y → 1 ,   0 0 = 0

E para o limite mais externo da direita, temos:

l i m ( x ,   y ) → ( 1 ,   0 ) sin 2 ⁡ ( y ) = l i m ( x ,   y ) → ( 1 ,   0 ) sin 2 ⁡ ( 0 ) = 0

Como os limites dos extremos é zero, pelo teorema do confronto, o limite da função do meio também é zero:

l i m x ,   y → 0 ,   0 x - 1 2 sin 2 ⁡ ( y ) x 2 + 2 y 2 - 2 x + 1 = 0

Portanto, nossa função f ( x ,   y ) é contínua no ponto ( 1 ,   0 ) e contínua em todo R 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   R 2

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