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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para uma função ser contínua ela deve satisfazer duas condições: o limite deve existir e ser igual ao valor da função no ponto. Em outras palavras, como queremos checar que ela existe no ponto 0,0 , queremos verificar a seguinte afirmação:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0

Para a nossa alegria, já nos foi dado o valor da função no ponto. Isto é,

f 0,0 = 0

Então, o nosso trabalho é realmente verificar se existe o limite.

Passo 2

Sempre que começarmos uma questão de limite com múltiplas variáveis, é interessante testarmos o método dos caminhos diferentes.

Este método nos diz que, se aproximarmos uma função por dois caminhos diferentes e os limites forem distintos, a função não possui limite no determinado ponto.

Agora, se todos os limites forem iguais entre si... Bom, infelizmente, não podemos afirmar nada. Mas... melhor tentarmos verificar estes caminhos para saber se o limite não existe (ou até ter uma noção do seu valor).

Vamos começar com dois caminhos tradicionais que passam pela origem 0,0 , os caminhos x = 0 e y = 0 . Se substituirmos eles no nosso limite, obteremos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x = 0 , y = lim y → 0 ⁡ 0 ⋅ y 0 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 = lim x → 0 ⁡ x ⋅ 0 x 2 + 0 2 = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Apesar dos limites derem iguais entre si, não podemos afirmar ainda que eles existem.

Passo 3

Só que o que acontecerá se testarmos com um caminho diferente, mas também um dos mais simples? Vamos testar a reta x = y . Com isto, teremos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x = y , y = lim y → 0 ⁡ y ⋅ y y 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ y 2 2 y 2 = lim y → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Olha só o que aconteceu. Obtivemos um valor diferente de zero.

Por causa disto, podemos afirmar que não existe o limite quando x , y → 0,0 . E consequentemente, a nossa função não é contínua no ponto!

Resposta

A função não é contínua no ponto 0,0 pois o limite não existe neste ponto.

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