Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo R 2 :

(d) f x ,   y = x 2 y sin ⁡ ( x y ) x 2 + y 2 3 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano ( x ,   y ) .

Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em x ,   y = ( 0 ,   0 ) e outra para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.

Nós já sabemos que para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.

Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y sin ⁡ ( x y ) x 2 + y 2 3

Ter uma potência no numerador menor ou igual a potência no denominador, já nos dá um indício de que esse limite pode não existir. Para verificar isso, vamos tentar calcular o limite por dois caminhos diferentes, ao longo de x = 0 e ao longo de x = y . Se o valor do limite for o mesmo para todos os caminhos, podemos dizer que o limite existe.

Vamos começar calculando ao longo de x = 0 :

lim y → 0 ⁡ 0 2 ∙ y sin ⁡ ( 0 ∙ y ) 0 2 + y 2 3 = lim y → 0 ⁡ 0 y 3 = 0

Agora para x = y , vamos ter:

lim y → 0 ⁡ y 2 ∙ y sin ⁡ ( y ∙ y ) y 2 + y 2 3 = lim y → 0 ⁡ y 3 sin ⁡ ( y 2 ) 2 y 2 3

= lim y → 0 ⁡ y 3 sin ⁡ ( y 2 ) y 8

Simplificando:

= lim y → 0 ⁡ y 2 sin ⁡ ( y 2 )

E aplicando o limite:

= 0 2 ∙ sin ⁡ 0 2 = 0

Como o limite possui valores iguais para caminhos diferentes, podemos dizer que o limite existe, é igual a 0 e, portanto, a função é contínua em todo R 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a

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