Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto P indicado.

c) f x ,   y = y sin ⁡ 1 x ,       x ≠ 0 0 ,           x = 0             P ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f ( x ,   y ) é contínua no ponto P ( 0 ,   0 ) . Nossa função é definida por partes e temos uma lei de formação para quando x ≠ ( 0 ,   0 ) e uma para quando x = ( 0 ,   0 ) . No ponto P ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 .

Uma função é contínua em um ponto quando o valor da função aplicada no ponto é igual ao limite dela naquele ponto, ou seja:

f x 0 ,   y 0 = lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f ( x ,   y )

Então, vamos calcular o valor da função no ponto dado e verificar se o valor do limite é o mesmo.

Vamos lá!

Passo 2

Nós já temos f 0 ,   0 = 0 , então vamos calcular o limite nesse ponto:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ y sin ⁡ 1 x

Pra resolver esse limite, vamos converter para coordenadas polares usando:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Assim, tendo tudo na mesma variável, vamos usar o Teorema do confronto para calcular o limite na forma:

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ θ sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ

Como o limite depende apenas de r , vamos começar dando uma arrumada no limite, colocando o termo constante para fora, no caso o sin ⁡ θ :

sin ⁡ θ lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ

Agora vamos pensar no seguinte, a função seno é uma função limita entre - 1 e 1 para qualquer argumento que ela tenha. Então, temos:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ ≤ 1

Se a gente escrever essa função em módulo, vamos ter:

0 ≤ sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ ≤ 1

Multiplicando todos os termos pelo módulo de r :

r ∙ 0 ≤ r ∙ sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ ≤ r ∙ 1

0 ≤ r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ ≤ r

Assim, aplicando o limite de quando r tende a zero, vamos ter:

lim r → 0 ⁡ 0 ≤ l i m r → 0 r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ ≤ l i m r → 0 r

A gente sabe que o limite da constante é a própria constante, então lim r → 0 ⁡ 0 = 0 . E como a função modular de r é contínua, também temos l i m r → 0 r = 0 .

0 ≤ l i m r → 0 r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ ≤ 0

Sendo assim, pelo Teorema do confronto, vamos obter:

l i m r → 0 r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ = 0

E pra que isso seja verdade:

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ = 0

Multiplicando pelo seno de θ :

s in ⁡ θ lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ 1 r cos ⁡ θ = s in ⁡ θ ∙ 0 = 0

Portanto, o limite existe e a função é contínua no ponto.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   n o   p o n t o

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