Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto P indicado.

a) f x ,   y = x 2 - x y x - y 2 ,     x ≠ ± y 1 4 x + y ,     x = ± y             P ( 1 ,   1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f ( x ,   y ) é contínua no ponto P ( 1 ,   1 ) . Nossa função é definida por partes e temos uma lei de formação para quando x = ± y e uma para quando x ≠ ± y . No ponto P ( 1 ,   1 ) , x = y , então vamos usar f x ,   y = 1 4 x + y .

Uma função é contínua em um ponto quando o valor da função aplicada no ponto é igual ao limite dela naquele ponto, ou seja:

f x 0 ,   y 0 = lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f ( x ,   y )

Então, vamos calcular o valor da função no ponto dado e verificar se o valor do limite é o mesmo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando f ( 1 ,   1 ) :

f 1 ,   1 = 1 4 1 + 1

f 1 ,   1 = 2 4 = 1 2

Agora calculando o limite quando x ,   y → ( 1 ,   1 ) , temos:

lim x ,  y → ( 1 ,   1 ) ⁡ 1 4 x + y = 1 4 1 + 1 = 1 2

Portanto, f ( 1 ,   1 ) = lim x ,  y → ( 1 ,   1 ) ⁡ 1 4 x + y e podemos dizer que a função é contínua no ponto ( 1 ,   1 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   n o   p o n t o

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6