Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo R 2 :

(e) f x ,   y = sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 1 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano ( x ,   y ) .

Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em x ,   y = ( 0 ,   0 ) e outra para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.

Nós já sabemos que para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 1 . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.

Assim, se esse limite for igual a um, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ sin ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

Como a função seno é sempre limitada entre - 1 e 1 , independente do argumento dela, temos:

- 1 ≤ sin ⁡ x 2 + y 2 ≤ 1

Dividindo todo mundo por x 2 + y 2 :

- 1 x 2 + y 2 ≤ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ 1 x 2 + y 2

E aplicando o limite em todos os termos:

l i m x ,   y → 0 ,   0 - 1 x 2 + y 2 ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0 1 x 2 + y 2

Agora repare que, pelo Teorema do confronto, se os limites das funções nos extremos existirem e forem iguais, o limite da função do meio também vai ser existir e terá o mesmo valor.

Passo 3

Então, vamos primeiro verificar a existência de:

l i m x ,   y → 0 ,   0 - 1 x 2 + y 2

Calculando esse limite ao longo do caminho x = 0 :

l i m y → 0 - 1 0 2 + y 2 = l i m y → 0 - 1 y = - ∞

E ao longo de x = y :

l i m y → 0 - 1 y 2 + y 2 = l i m y → 0 - 1 2 y = - ∞

Da mesma forma, para x = 0 em l i m x ,   y → 0 ,   0 1 x 2 + y 2 , teremos:

l i m y → 0 1 0 2 + y 2 = l i m y → 0 1 y = ∞

E ao longo de x = y :

l i m y → 0 1 y 2 + y 2 = l i m y → 0 1 2 y = ∞

Passo 4

Assim, vamos ter:

- ∞ ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ ∞

Portanto, pelo Teorema do confronto:

l i m x ,   y → 0 ,   0 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 → D i v e r g e

E a nossa função f ( x ,   y ) é descontínua no ponto ( 0 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   d e s c o n t í n u a   e m   ( 0 ,   0 )

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