Seja α > 0 um número real e considere a função

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 4 α s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Determine para quais valores de α a função f é contínua em x , y = 0,0 ? Justifique!

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Foi dada uma função f x , y que é definida por partes, quando x , y ≠ 0,0 , f se comporta como x 2 y 2 x 2 + y 4 α e quando x , y = 0,0 , f é 0 .

Se chamarmos x 2 y 2 x 2 + y 4 α de g x , y , podemos reescrever f como

f x , y = g x , y s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

O objetivo da questão é encontrar os valores para α em g x , y que fazem f ser contínua em x , y = 0,0 .

Tem ideia de como fazemos isso?? 🤔🤔

Para f ser continua em x , y = 0,0 , g x , y tem que tender a 0 quando x , y tende a 0,0 .

Ou seja, o limite de g x , y , quando x , y tende a 0,0 , deve ser igual a 0 .

Bora começar nossos cálculos? 😁

Passo 2

Como vemos no passo anterior

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 4 α = 0

O limite do produto é o produto dos limites, então reescrevendo x 2 y 2 x 2 + y 4 α como x 2 y 2 · 1 x 2 + y 4 α

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 4 α = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 · lim x , y → 0,0 ⁡ 1 x 2 + y 4 α = 0

Sabemos que 1 a n = a - n , logo

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 · lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 4 - α

Substituindo x e y por 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 · lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 4 - α = 0 · 0 - α

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 · lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 4 - α = 0 1 - α

Você concorda que se tiremos a 0 o resultado dessa fração é uma indeterminação, portanto o expoente de 0 1 - α deve ser maior ou igual a 0 , pois se tivermos um expoente negativo, significa que o denominador da fração é 0 , gerando uma indeterminação 0 0 .

1 - α ≥ 0

Logo, vemos que

α ≤ 1

Alfa deve ser menor ou igual a 1 para f ser contínua!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

α ≤ 1

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