Questão 1 Para que valores de p ∈ R a função

f x , y = x   +   y p x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ 0,0 0 ,     s e   x , y = 0,0

é contínua em R 2 ?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que descobrir para quais valores p pode assumir para que a função f x , y seja contínua.

Tem ideia como fazemos isso? 👀

A função é dada por

f x , y = x   +   y p x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ 0,0 0 ,     s e   x , y = 0,0

Uma função definida por partes é contínua se for contínua em cada intervalo onde é definida e se a sua imagem no ponto de transição entre os intervalos é igual aos valores à direita e à esquerda desse ponto.

Mais formalmente, uma função definida por partes f x , y é contínua se:

f x , y é definida para todo domínio da função.

f x , y é contínua em cada intervalo onde é definida.

O limite à esquerda de f x , y no ponto de transição entre os intervalos é igual ao limite à direita de f x , y nesse mesmo ponto.

Se essas condições forem satisfeitas, a função definida por partes é contínua em todo o seu domínio.

Sacou, bora começar! 😉

Passo 2

Em outras palavras, x   +   y p x 2 + y 2 tem que tender a 0 se x , y → 0,0 , ou seja

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y p x 2 + y 2 = 0

Se nos aproximarmos do ponto 0,0 pela reta x = y , podemos simplificar nosso limite, veja só

lim x , x → 0,0 ⁡ x + x p x 2 + x 2 = 0 → lim x → 0 ⁡ 2 x p 2 x 2 = 0

Assim, se x se aproxima pela direita, podemos dizer que 2 x = 2 x , mas se x se aproxima pela esquerda, então 2 x = - 2 x .

Dessa forma, podemos separar em dois limites

lim x → 0 + ⁡ 2 x p 2 x 2 = 0

lim x → 0 - ⁡ - 2 x p 2 x 2 = 0

Como nosso foco é obter p , podemos desconsiderar o limite l i m x → 0 - pois já temos o resultado

lim x → 0 + ⁡ 2 x p 2 x 2 = 0

Para esse limite ser igual a 0 , o numerador tem que tender a 0 mais rápido que o denominador.

Concorda com isso? 😁

Passo 3

Se chamarmos p de 2 + a , temos

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 + a 2 x 2 = 0

Como x a + b = x a x b então

lim x → 0 + ⁡ 2 x 2 2 x a 2 x 2 = 0

lim x → 0 + ⁡ 2 · 2 x 2 2 x a 2 x 2 = 0

Simplificando o numerador e o denominador...

lim x → 0 + ⁡ 2 2 x a = 0

Assim, vemos que a tem que ser maior que 0 para que esse limite seja verdadeiro, pois se a = 0 , a equação não é satisfeita.

lim x → 0 + ⁡ 2 2 x 0 = lim x → 0 + ⁡ 2 = 2

Portanto, se a > 0 e p = 2 + a , então

p > 2

p tem que ser maior que 2 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

p > 2

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