5- Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em 0,0 :

c) f x , y = y 2 s e n x cos ⁡ y x 2 + y ²   s e   x , y ≠ 0,0 a 2 - 4 a - 5   s e   x , y = 0,0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Essa questão é muito bacana! 🤩 foi dada uma função f x , y que quando x , y ≠ 0,0 é regida por uma função descrita por uma função que vamos chamar de g x , y . Já quando x , y = 0,0 f é regida por outra função que vamos chamar de h x , y . Ou seja

f x , y = g x , y   s e   x , y ≠ 0,0 h x , y   s e   x , y = 0,0

Onde

g x , y = y 2 s e n x cos ⁡ y x 2 + y ² e h x , y = a 2 - 4 a - 5

Quando x , y = 0,0 , g x , y gera uma indeterminação, já que calculando g 0,0 temos

g 0,0 = 0 2 s e n 0 cos ⁡ 0 0 2 + 0 ²

g 0,0 = 0 0

Dessa forma, temos que arrumar uma forma de tampar esse buraco em 0,0 .

Pra isso h x , y entra em ação 🐱‍👤

f vai ser continua se as vizinhanças de h x , y tender a h x , y , ou seja, o limite de g x , y deve tender a h x , y .

Entendeu? Bora para os cálculos!

Passo 2

De forma geral, temos que calcular

lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y = h x , y

Primeiro, vamos calcular o limite de g x , y

lim x , y → 0,0 ⁡ y 2 s e n x cos ⁡ y x 2 + y ²

Nesse caso, podemos calcular o limite usando o método das curvas. Este método consiste em substituir os valores de x ou y por retas que passam pelo ponto 0,0 , por exemplo

Pela reta y = x , vamos substituir y por x no limite.

lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 s e n x cos ⁡ x x 2 + x ²

lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 s e n x cos ⁡ x 2 x ²

Podemos cortar x 2 do numerador e do denominador

lim x , x → 0,0 ⁡ s e n x cos ⁡ x 2

Substituindo x por 0

lim x , x → 0,0 ⁡ s e n 0 cos ⁡ 0 2 = 0 2 = 0

Calculando o limite pela reta y = 5 x , substituímos y por 5 x

lim x , 5 x → 0,0 ⁡ 5 x 2 s e n x cos ⁡ 5 x x 2 + 5 x ²

lim x , 5 x → 0,0 ⁡ 25 x 2 s e n x cos ⁡ 5 x x 2 + 25 x 2

lim x , 5 x → 0,0 ⁡ 25 x 2 s e n x cos ⁡ 5 x 2 6 x 2

Podemos cortar x 2 do numerador e do denominador

lim x , 5 x → 0,0 ⁡ 25 s e n x cos ⁡ 5 x 26

Substituindo x por 0

lim x , 5 x → 0,0 ⁡ 25 s e n 0 cos ⁡ 0 26 = 0 26 = 0

Aproximando pela reta x = 0 e fazendo os mesmos procedimentos, temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ y 2 s e n 0 cos ⁡ y 0 2 + y ²

lim 0 , y → 0,0 ⁡ y 2 s e n 0 cos ⁡ y y ²

Cortando y 2 do numerador e do denominador, temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ s e n 0 cos ⁡ y

Substituindo y por 0

lim 0 , y → 0,0 ⁡ s e n 0 cos ⁡ 0 = 0

Passo 3

Calculamos o limite de g x , y por várias curvas que passam por 0,0 e todos os resultados foram iguais a 0 , logo podemos afirmar que

lim x , y → 0,0 ⁡ y 2 s e n x cos ⁡ y x 2 + y ² = 0

Continuando pela busca do valor de a , dizemos que

lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y = h x , y

Se lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y = 0 , então h x , y = 0

a 2 - 4 a - 5 = 0

Por Bhaskara, podemos encontras os valores de a

∆ = - 4 2 - 4 · 1 · - 5

∆ = 36

a = - - 4 ± 36 2 · 1

a = 4 ± 6 2

a 1 = 5 a 2 = - 1

Através do método de Bhaskara encontramos dois possíveis valores para a , 5 e - 1 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a 1 = 5 a 2 = - 1

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