Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

  1. f x ( 0,0 ) é contínua em ( 0,0 ) ? justifique

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função com duas variáveis

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2

E perguntou se a derivada parcial em relação à x no ponto ( 0,0 ) é contínua

Como saber disso?

Para começar, precisamos resgatar qual é a expressão da derivada parcial f x :

f x x , y = 2 x   s e n 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 cos ⁡ 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

Para ser contínua, o limite da função derivada deve ser ter o mesmo valor ≠ 0 e em = 0 . Então precisamos calcular o limite por caminhos quando x , y ≠ 0 ! Se independer do caminho e o resultado for zero, a derivada será contínua!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Quando x , y → ( 0,0 ) ao longo do eixo y , isto é, com x = 0 temos

lim 0 , y → ( 0,0 ) ⁡ f x ( 0 , y ) = lim 0 , y → ( 0,0 ) ⁡ 0 .   s e n 1 y 2 - 0 . y 2 cos ⁡ 1 y 2 = 0

Tudo bem até aqui?

Agora vamos analisar esse limite por outro caminho! Por exemplo, pelo eixo x , ou seja, com y = 0

lim x , 0 → ( 0,0 ) ⁡ f x ( x , 0 ) = lim x , 0 → ( 0,0 ) ⁡ 2 x   s e n 1 x 2 - 2 x x 2 cos ⁡ 1 x 2

Vamos separar em dois limites:

lim x , 0 → ( 0,0 ) ⁡ 2 x   s e n 1 x 2 = 0 . l i m i t a d a = 0

O primeiro limite é um produto de uma função limitada (seno) por uma função que vai à zero, então essa parte do limite é zero. Vamos ao segundo limite:

lim x , 0 → ( 0,0 ) ⁡ - 2 x x 2 ⏝ →   ∞ cos ⁡ 1 x 2 ⏝ l i m i t a d a = n ã o   e x i s t e

Agora o segundo temos o produto de uma função limitada (cosseno) por uma função que explode para infinito, então nesse caso o limite não existe

Belezinha?

Os limites por caminhos diferentes deram resultados diferentes. Concluímos que f x ( 0,0 ) não é contínua

Até a próxima!

Resposta

n ã o  

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou. f x , y = e 1 / ( x - y )
Seja A um subconjunto so R 2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam ( x 0 ,y 0 ) e x 1 , y 1 em A, existe uma curva contínua γ : a , b → A , tal que γ a = ( x 0 , y 0 ) e γ b = ( x 1 , y 1 ) . P
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6