1. Usando derivação implícita, encontre uma equação da reta tangente à curva x 2 + x y + y 2 = 3 no ponto P = 1,1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que encontrar a equação da reta tangente de uma função. Para quem não lembra, a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, ( x 0 , y 0 ) é a coordenada da função onde passa a reta tangente e y ' x 0 é a derivada no ponto que ela passa.

O enunciado nos forneceu a seguinte função,

x 2 + x y + y 2 = 3

E quer a reta tangente no ponto 1,1 , ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 1 . Agora temos que encontrar y ' x 0 ,

Mas repara que temos uuma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar. E quando derivamos implicitamente, derivamos em função de x e em função de y . Porém, os termos obtidos a partir da derivação de y são acompanhados y ' .

Bora aplicar!

Passo 2

Derivando a nossa função implicitamente, ficamos com,

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0

Isolando y ' ,

x + 2 y y ' = - 2 x + y

y ' = - 2 x + y x + 2 y

Mas queremos encontrar o nosso y ' x 0 . Então temos que fazer x = 1 e y = 1 , pois são as coordenadas do ponto que queremos.

Logo,

y ' x 0 = - 2 1 + 1 1 + 2 1 = - - 3 3 = - 1

Agora vamos voltar para equação da reta tangente!

Passo 3

Tinhamos a seguinte expressão geral

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo os dados encontrados, ficamos com

y - 1 = - 1 x - 1

y - 1 = - x + 1

y = - x + 2

Prontinho!

Resposta

y = - x + 2

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub